已知函数f(x)=x+1ex(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2...
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（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=-xex…．（2分）
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…．（4分）
（2）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2φ（x）min＜φ（x）max．
∵φ（x）=xf（x）+tf′（x）+1ex=x2+(1?t)x+1ex，
∴φ′（x）=?(x?t)(x?1)ex…（6分）
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3-e2＞1．…．（8分）
②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0．…．（10分）
③当0＜t＜1时，
在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增
∴2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即2?t+1et＜{1，3?te}（*）
由（1）知，g（t）=2?t+1et在[0，1]上单调递减
故4e≤2?t+1et≤2，而2e≤3?te≤3e，
∴不等式（*）无解
综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-e2，+∞），使得命题成立．…（12分）
