求证三角形外心垂心重心三点共线,用向量证
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不妨设三角形的外接圆半径为1(如果不是1，就把定点坐标乘以半径).
设3个顶点为
A(cosa,sina)
B(cosb,sinb)
C(cosc,sinc)
由重心坐标公式,三角形重心为
G(
(cosa+cosb+cosc)/3
,
(sina+sinb+sinc)/3
)
设
H'(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc)
用向量垂直的条件知,AH'⊥BC,BH'⊥AC.
所以,H'与垂心H重合.
易见向量OH=3向量OG.
故O,G,H三点共线.
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设三角形为δabc,o为其中一点,[
]表示向量,∠a,b,c所对边分别为a,b,c
1.若a[oa]+b[ob]+c[oc]=0,则o为内心,角平分线的交点
2.若[oa]+[ob]+[oc]=0,则0为重心,中线的交点
3.若[oa]*[ob]=[ob]*[oc]=[oc]*[oa],则0为垂心,高的交点
4.若[oa]²=[ob]²=[oc]²,则0为外心,中垂线的交点
