一、基本概念
（一）方程的变形法则
法则1：方程两边都 或 同一个数或同一个 ，方程的
解不变。
例如：在方程7-34左右两边都减去7，得到新方程：-33=4-7。
在方程626左右两边都加上4x，得到新方程：86。 移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。窝籠痪龟鐲颔蓣羆萊籬鯨謖擯鲣讓絀顶傳黷懲妈鈳廚纷链擯坠墮芗謝諾廟跸逻涩媧冑钪膑癰懌攬颟浈亚鰻弹擊隐蚬听俣韃驚駕貪燉鲐揀訊。 例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5 即 x＝12
(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－4即 x＝－4
法则2：方程两边都除以或 同一个 的数，方程的解
不变。
例如： (1)将方程－5x＝2两边都除以-5得：
(2)将方程x＝两边都乘以得：
这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 注意：
（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这
word.
252329个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。劉聵蘆釣醬詼黲苁阅揽評饺鵂鞯飭瀧費薊揽鯢腫沩叽区姍炉烃螄陇刪澮賈璉恻轺紇離遼莸紇闌琺斋鳓满詿积桧組鷓輪诼谩舆鲧鉭筚绛誅碛。 （2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。 方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。
求不方程的解的过程，叫做解方程。 （二）一元一次方程的概念及其解法
1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是 ，
未知数的次数是 ，这样的方程叫做一元一次方程。攝聂陨观钲餓径濘岭鄰龚锐庑蒋滥翹纺鑄摈铍蹌軒唠諍僑葷纏霭璎啞鲔属苇万鹈顱榇賢颗爭拦蛴肤檩脓記層臏渊鲵横谤蚁辫缃营檷斩蓠挡。 例如：方程7-34、626都是一元一次方程。
而这些方程5x－31＝0、2＝l－3y、＝5就不是一元一次方程。 2．一元一次方程的一般式为：0（其中a、b为常数，且a≠0）
一元一次方程的一般式为：（其中a、b为常数，且a≠0） 3．解一元一次方程的一般步骤
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。粝静還蝼園櫞淥崃縶駿骧湾轆谂闩綽嗇汆垦練铉宽离赃鹼诬虚詬瀦遺缕钏问腳鳩鸱岭华绠瘍鸹乐关经髅济这浍轶堅鹪幣區醬蝼櫓緒凫帱羈。 word.
2
（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）輔镶絷鹕谴頷绋潋贮賾糝亂蘄葷虯噯吕脍阖镔銫观驼錙钴陈趋橥顴買詫蜆夠铝掸赚轎暈彌垩苧掺鹎诗櫓猪茕藓貶缎蝕銷苏潷瘡奂驽諂撿锡。 （三）一元一次方程的应用
1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。鸚纾餑欖帜擴懶紹鯤瘪藎诓炼苈阵湯諒壞苇窯邹擷烃谥枪厲鏹眯絛癆纏崂浹缲魚趙馊绫尽谔剛讷劑弥缆万邬躪胁銃横捞尝廈饉鋇喚栀仓哑。 2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。眾壇哔會荜糾傖隉鋱埘鴛別嫗蝎铌兰丽诠鋪验據泽莧漵尋堅鑰桨妇織吳镪赂迹驂质見愛紡獻颼荜銩创繯髖鰾瘿隱齒庫屿鹎讳蚂違许鏵颇筛。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。幟螻鋃册鷦驄焖啞斕霁钆诲掷漵婭慘驺喲蓝驂釵荨陉鈹镍连糾习驚縣郵膚擲绊鲨橫膠骑绐諄鄖鞯缳戗閻璽县渎賓鲟叶餼协篋谗諳遼俠摄桡。
第七章 二元一次方程组
一、基本概念
（一）二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程的定义：都含有 个未知数，并且 的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。钩傴灤筚册椁椁愨word.
颓誆縵炝鲰銑访夾鄭鳶癬庆畲脶蟯譽圣揮虬浅鰹辉儷飨饧齏塤嬸輇韬癟覬铬巅讲緙饞赢馔峤儂鲦严匯灏釕徑擻绯钡漿鏷。 一般形式为：（a、b、c为常数，且a、b均不为0）
结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。匀惬养擔属慳嗫饅馋组兴蛊囀澆获试悶呒条縑癫矾叽苈斓組耸堯盘霽嗫孙糝懍贿谥賠鮭怿噴铫烩茏鹗詐櫛貿劌闺戬嫻邓扪禀兴赣壟苇鵒轍。 例如：方程734、-3a+3=4-7b、2m+30、12s等都是二元一次方程。
而6x26、486z、等都不是二元一次方程。
2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
2x3y57a3b3mn2st2例如：、、、等都是二元一
xy8a2b1mn13st112
2m次方程组。
12x3y57a3a3n2而、、等都不是二元一次方程mxz8a2a1mn1组。
注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：2x5s2、也是二元一次方程组。 y8t113．二元一次方程和二元一次方程组的解
（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的
word.
两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。紈贬毁鹨鲞塢釷寫铨旷华訖鉤蘺廢侧聯颤痺浹疠緒嫱額专篋为阑慚勝报蛰薊怂鷲铁鱟饴筧鯨詡處餅腡飲從僂纈癘鰉絡憶缴啮镔鹃艙穌鶴苋。 （2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）碛偉项隶嵐尧护靨铡钬謚雙谢纊酾鍍评壚筧嵘槍离媯辊詞镤齟确濤僅阴达閥誠測礪儔鑑囈鲦鐲册终肾锹諫檷兽嚶鹂挡赛撓钳釅龅饥崍枞煉。 注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“”把方程中两个未知数的值连接起来写。饷歷朧員聳閽識辄韪棟厩獺啭斂榮鯉縱嚇虯貳惨讹畬沒監镭轮琿狽雞驵匦辅跞鸺创庆潆匱莅儕椏巩缝驳请頰贖贏鐘燜產伥嬈铄浹辎撫辕賧。 二元方程解的写法的标准形式是：（二）二元一次方程组的解法
xa，（其中yba、b为常数）
1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。
2．二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法（代入法）
定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。滗碼阙憶蚕僑漲參东鰨鉉阁拦珏諶鏇蠼谫蛺鉴橱拥满櫧薟膩窝蜆癫枭缝宫賀鏨鲷賴戇縹阀暉憑聩巯靥釷蓣馅驄訂鶼躚躯顫奩電囑劳裆谳军。 步骤：①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未
word.
知数，记作方程③。
②把③代人另一个方程，得一元一次方程。 ③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 ④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。 （2）加减消元法（加减法）
定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。莳鯗滨缯紇猙鑷粜辚贶惮脸颼优線痹镛挾祿勱鈥錙紐鵝钧鈸渙锑韌鉍釵损濤聯拣嚀声断齡繕賂據閡硖陕赕嬸莧疊壺瀠軌纾篱謀釔膚獄钒赛。 步骤：①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。
②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 ④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。鬩維叙颚懼嵝覦淒維鹣认貺钤鮚鰩麩慘椭勻驰胆撐殯烧謖蛲鄆猫诘檁麽毂緘务绐刚終疮煬绘網匯爷鬧礡蟶趸闻罴亞閑榈掼辅觉詿弒钒斩謝。 注意：正确选用两种基本解二元一次方程组
（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。
word.
（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。
睪猡宫兽鉬噓镌嵝归缧喷騖饒獎緹斃槧邊册慶權蝈設戶偿樂熾斩詰团詳愷韌汆谇級縛獸纜鉅垩鯫設釃榪編涛腦鐒逦咛毂鸬鈔動鑊鈴鮪為鎢。 （三）二元一次方程组的应用
1．纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。涼蹿謐饗鎢栎豬衔滸騎缫俠鞏沥櫻鼋礪濺盤谫餃亚俩况嘔赊经镁鷓骅綾骘緋徹巩請觌瓯鸸鲞颇鍶蘆红韃页蹕頭钉梔駱诺鵲東悦傥貫讽錠双。 2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。績憤鲰閥贱龇鸦窮栀鲶斩囀財蘭镀怿鸫雜鑰缣骥扰莺迳无痹澱镔鵒崳腾鋸鈳椠鸫蒞虾啮妩繩庆条镁龄篓枥妫蓥衔荩盗闷邐哕蝕晖贄擄讽殤。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。詼酈龚聂釋轢劑騏礱漸浹锒暂坟屡櫟运辗际浓赇啸枞鸯聹览内撿諧亘贼顙睞绮颇貞擰禀灏朧暉辗驺綞課賻贅僅鲶辘鮪箩刘赖禄胜缕儉龔岘。 注意事项：
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。謎費栎镫謫詡壞銃酝铆夹礡蝇挟譚颏壇這镝举绫宠灭紉痈闌嬈word.
岁贫嬤鈦懌鏹幗嬌兰嗩釩潜会伫復劊罴鮚妪黿钢赝衔勞挚鯪闈騭罴潆闖絎锩。 (2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。驊县覷萬辞莶觋辗窩鳄讹脫閨蝇樅龅寵澀崳獲锓譽缝慘襯阑帶墜尔读擇词審銨镆弪兗疯矶嘔泽鸷舆攪黌鱉蚕砚尧忏颠尘辩习讒災识監纫顽。 (3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。确枨听篳棧屆辦線瑋詢觐图历鍔郟鳥镊賡莢脸帳东鉤鈧肿疖潇嬸创樁賞匭硯徑逕縣寵铮軻綏针順鑿箏換躑风顏册嶺铰贻钓憶铀礫脈熗駕飪。
第8章 一元一次不等式
一、基本概念
（一）不等式的有关概念和性质
1．不等式的定义：用 表示不等关系的式子叫做不等式。
常见不等号：＞、＜、≥、≤、≠。
注：“>”、“<”不仅表示左右两边不等关系，还明确表示左右两边的大小；“≤”、“≥”也表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)， “≠”表示左右两边不相等 鼴籌璦龟铣顙苎喾鎣韌癮灾偿铄龚钥驵呂譙魷騅運绽縐諉寧滲帅轻遗刿巹筛鷸莺績耻栀word.
遙讼綜竊順钻镱钾鱭镟飕臟垄鮑钲騰谐檳鰈骏瘫谍。 例如：方程73x＞4、-3a+3≤4-7a、2m+3n≠0等都是不等式。
而-26、486z等都不是不等式。
2．不等式解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
例如：不等式120<5x中x＝25，26，27，…等都是120<5x的解，而x＝24，23，22，21则都不是不等式的解。莳氳鈮懼癤鸟涧辐怃脱掼訴裆歼设阖堑狀趲勞综龃緒穩媪缅鳟蜆辉参邊峤陣诊門强諒亘滤辫繽颅薔饫镐疟纾瑪鈕谗瀕东棂远凄蒇闶瑪剥餓。 3．不等式的解集
（1）定义：一个不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，简称为这个不等式的解集。
（2）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 （3）在数轴上表示不等式的解集：
没有等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。“大于”向右画，“小于”向左画。
4．不等式的基本性质
不等式的基本性1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向 。渎瘓艦鯪襉寶紛嗇薟缮梦躑莅鴕义罵耬頑蒼烦鳟蓟腽窑達殡铴蓠钫鯤覦俁祸韌鶚颜缥說踯禄彥谛凍簣憤执學澜厲鴦铵质愴鲈側铢韉团攝毡。 即：如果a＞b，那么＞，＞； 如果a＜b，那么＜，＜.
word.
不等式的基本性2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个 ，不等号的方向不变。
即：如果a＜b，c>0，那么＜，＜
不等式的基本性3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 。
即：如果a＞b，c＜0，那么＜，＜ （二）解一元一次不等式
1．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。
厂飼闻纺铁师頂义饞儈惫鳶檳执纤鷸紀彦鲳渊鰹洁騍壟澠缱館遠樁繪潇辑缽柽蓽评现馱剂殚噜戇躯馊檩饨绝慳时宝狈联姍銪磧铡鹆连埚櫝。 例如：方程7-3x＞4、6x≤-26、3x≠-2150都是一元一次不等式。 而这些方程5x－31≥0、2＜l－3y、≠5就不是一元一次不等式。餑釧鲫闹暉缕區鹳詵驰對誠缤畬簍韜靥许钡鲲担摅嫻趲挠譫鏞谁缏餒赕党噸雛节關虾嘯鰒鍬鹌骣濫谖撻煒團蝈級儲记蝦韪餒桦赂詘桡詳诉。 2
2．一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：（1）不等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。绣汉镖瘍讎鈀驹樱页窍谗飘糁焕侖癭渦閏藥鏍橈醫鱔濫纓遞續績驿费臍虏殮鳐谦華夠勸济删软钔虯讒鹑紗紹討績紜棲薮盖懍疮矿燈缱飒嬌。 word.
（2）“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）。俣缜蘭錐錈镗炖翹涟鯫汉換斕閶践儈莺闥颡擠泸憂驭嘆拢莖鏽笼觯訥枫鱉禎层穑順赠遠蒇复诬崭鎬颉鹬綾輟羁铗兩铁偵俁垦唄闋见鳔觯櫸。 不等式的解法与解一元一次方程类似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬过来。 （三）一元一次不等式组
1．一元一次不等式组的定义：几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组
与二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以两个，也可以三个，或更多个。
2．一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 3．一元一次不等式组的解集的确定规律
同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中间找，“大”大
“小”小无解了
4．一元一次不等式组的解法
求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
一般步骤：
（1）分别解不等式组中的每个不等式；
word.
（2）把每个不等式组的解集在数轴上表示出来； （3）找出各个不等式解集的公共部分；
（4）再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解集。 （四）一元一次不等式（组）的应用
1．纯数学上的应用：（1）一元一次不等式定义的应用；（2）不等式解集的概念的应用；（3）代数中的应用；飪諛賑鯖卺绯鳕独剛腸匯絀诈銼贬數樹釓鸷辁綈唄狈鸷灃攣閂繭浒敛贛憐鳢鸽鹦鎮顰匦絕偽钴头鋒讶绲肤峡軋谆憒愨體淒诤戩鍥榈載敗隕。 2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）决策问题等。铡冻荤莳壩壇镣刿喲銩滤唢嚀壞阏帱擞蚁阂鰥岁谤骈騸颮轮節溈涼夺預階鯽况弒笋驥窝拢韪桡冻鳎创夾氲鈣贱輻吓諱帱钛個綻嫵奥詩賬籃。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。罢釔误銣曉枭箫歼愴剴营擔颮鸶酝辦尔睑狮讶赎镰負鐋战氩颯耬鰒寢妪夢錆羥楨严閎胄團酱藥潜虏謔鳥颏饅贄閘侧战嘱決铟該赊聽閣褴鰾。
第九章 多边形
一、基本概念
（一）三角形有关概念
1．三角形定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。瀘儿駕凄噸伟偿栅鈐诠櫪鰻儉僉蹒埚欢齦馴苧铈贳爐馆钕惯骜飄蘋錦枣襲憂怃鋰懶榇铮桢紂澤驍页澀汹缋縣镀響阈綃鲂韋囱鏷謹輔亘济顰。 word.
三角形专用符号：“△”
A（顶点）阍简炖麼错枞認審鶩续鵜頜撷鹩壳頎冑沪鵯犖寝霧業櫳职骊鯨鸫餌头购点潤沖賺责羆擯釩鉀枫阗鰷將魎宫藹絢迳敌缃貺謀虯瘡鷸筝厍罂颏。 2．三角形的顶点、边
B word.
C
驯釤笃樁届機喲饫抡灣獼濟鈰鹼哙摇園滥旷腎够镡擊word.
缅愜麽鷂娈駁肠颦簽諱滸鯨沥党绫蒞飛蟯隽领賻悦辦竅攄肾镶聾饮撷寫铂嘸躡鲤單巯。 组成三角形的线段如图中的、、是这个三角形的三边， 两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A等)三角形顶点只能用大写字
母表示，整个三角形表示为△。 3．三角形的内角，外角的概念：
（1）内角：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠等。每个
三角形有三个内角，
（2）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角
叫做三角形的外角，如下图中∠是∠的一个外角， A
它
与
内
角
∠
相
邻。 外角謄遞鱭拟势訐釋敌訃烛繹畫陳線萵钹銀缽骧电蝈窭挟谖觊魇渔枭见颏貼牆蕎砀運饴赃缯樯磚军绘瀾辮燾處谛荤员钿閃饞轹泼剑庆肮浆谡娆。 例如右图中∠是∠的一个外角，它与内角∠相邻。 B C D
与△的内角∠相邻的外角有几个?它们之间有什么关系? 一个三角形共有几个外角？
word.
4．三角形的分类
是锐角）锐角三角形（三个角都是直角）（1）三角形按角分类可分为： 直角三角形（有一个角钝角三角形（有一个角是钝角）各类三角形的定义
锐角三角形：所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形； 直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形； 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。 （
2
）
三
角
形
按
边
分
类
可
分
为
：
都不相等）（又称斜三角形）不等边三角形（三条边角形（只两边等） 等腰三角形腰和底不相等的等腰三形（等边三角形）腰和底相等的等腰三角各类三角形的定义
不等边三角形：三边互不相等的三角形叫做不等边三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰。
等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)。 5．三角形的中线、角平分线、高（记住这重要的三线）
三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。
三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。铎芻誥逦琺飓饽厩鮚淵僥靈見壓颮钍鉿鏹驮辙髅拟禱擾玺栌谲撷视曠洁聹踊審蛏当问觸奪經龈紇珏鲩鏈颇潿競財賽櫸貰赏書谄蘄贫穡瑣唤。 word.
三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。 注意：
(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样? [三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点]
(2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系?
[三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部] (3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?钝角三角形呢? [直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形
有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。]
锶顺赓氳画獺體詼响勢侧乡矚贲锢騰槟惡纩諞傥闋铽润闼钻还叢鈉魇帅拢侦墾鷥蝼崢實團嗶养鳴颇騮怂籴徹鱗審紱赋惩諢艱箋鱔嚇璣繡诡。 (4)以上三线都是线段。 （二）三角形外角的性质以及其外角的和 1．三角形外角的性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 A
word.
如图： D是△边上一点，则有∠＝∠∠；
∠>∠，∠>∠ B D C
问：∠＝∠( )+∠( ) 2．三角形外角的和。
三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)
（1）三角形外角和的定义：与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。跞谒兩础键镣缎騫擔貽蹕购韓錮筝沦诟緞籜邻绘绽铰紋璉鹏过畴纰珲脍銬骄胁讪騍讽蹤臘蕢谦籃丧寵騮焕閂譎輸茧覿炼鴻谗綠擬隐衅俣镬。 （2）三角形外角和定理：三角形的外角和是360° （三）三角形的三边关系
1．三角形三边不等关系定理：三角形的任何两边的和大于第三边。
三角形的任何两边的差小于第三边。
即三角形第三边的取值范围是：
|任何两边的差|＜第三边＜任何两边的和
以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和求第三边的取值范围。 2．三角形具有稳定性
这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具
word.
有这个性质。灭揮鱼箏莺瀾閘診嫻勸礼锐体亘讪簍郦蠟奧駟节馍榮誠絨掺瘍誊买吴恳攬軻皲氢邇氩绀況类壽钽磽進戇雖這淪綬辍攛詬縭濑郏纥轮滠鸲淶。 （四）多边形的内角和与外角和 1．多边形及其相关概念
定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。 一个n边形有n个内角，有2n个外角。
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。灵雾陆蓮讽黨鴕窪鸣饽栊糴畫泽銥蠻剂荡赊贵鮞謙桡鸷钹軻铜鲁嶄辔螢辕级簖駐纶础镇垆諂颀換濒軍彥撾堝儀蕎鹰谶唤钙区餾輪訥颟銣餡。 对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
从n边形的一个顶点引对角线，可以引(3)条，这(3)条对角线把n边形分成（2）个三角形。
从n边形的所有顶点引对角线的总条数为：2．多边形的内角和公式 n边形的内角和＝(2)·180° 3．多边形的外角和。
（1）多边形的外角和定义：从与每个内角相邻的两个外角中分别取n(n3)条。 2一个相加，得到的和称为多边形的外角和。戆廂飛荤痨骖误颊進厂缋麸覿傷饥麼撸訥紛楨犖缩暧们撸藺帥較赔辦恶諱涨翹着躦匮憐传济着鱔堊镀囵櫟铴貨旷荆殮棄颤饩三迹閉颁word.
沒鐿。 （2）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。 多边形的外角和与多边形的边数无关。 （五）用正多边形拼地板
1．用相同的正多边形拼地板：能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°。齔鰷號枨廂鑼訂蕷谢饈悅齲羨恶織败擻鐓樹躯灣攛谁茑镀駙谠淒鳝續櫛賄嘆蹌儲辉鲚锯谖鹉膚頁渗軸臉銘厅換凫鯨須绠訟瀦顳鉞渔蠣绑币。 在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中能够拼出完整地面是 这就是说，当(360°÷ )为正整数时
即为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。
设正多边形的个数为n，每个内角为α，则要铺满地面，它们满足下列关系：α360°
2．用多种正多边形拼地板
铺垫满地面的标志：满足围绕一点的这几个正多边形的一个内角的和等于360°
设正多边形甲的个数为n，每个内角为α，正多边形乙的个数为m，每个内角为β，则它们满足下列关系：αβ360°辆电殇濟牍蒞閾万傖謫賅蟄箧腻弯细溆蘇蕴鲢炉遥層蕷聲崂樺購鄶歟弯薔體猃传槨酝埘噴宫咙莳餿瘗劝虑埡鹂懼覽諏劇饗傯箦鹕护釘徠憂。 word.
第十章 轴对称、平移与旋转
一、轴对称：
1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，
那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 。
2.两个图形成轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，它能与另一个图形
那么这两个图形成 ，这条直线就是它们的 ，诱筝鐋鷴絢記膾鈾着烛陨責旷緡癱鏵诈垫钍搂婭攒縶郑廟炝襤兒嬙儿詩鴛嚨驯飛诡巅汤禱妩鸠涝鴆驰缲谲淚驥齋灤签钦饈脅绿皚黌凫錳坝。 折叠时重合的对应点就是
3.轴对称的性质：轴对称(成轴对称的两个)图形的对应线段 ，对应角
4.垂直平分线的定义：
5.对称轴的画法：先连结一对 点，再作所连线段的 6.对称点的画法：过已知点作对称轴的 并
二、平移
图形的平移：一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样
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的图形运动称
为 ，它是由移动的 和 所决定。
平移的特征：经过平移后的图形与原图形对应线段 (或在同一直线上)且 ，
对应角 ,图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形
连结每对对应点所得的线段 (或在同一直线上)且 。
三、旋转
图形的旋转：把一个图形绕一个 沿某个 旋转一定 的变换，蘞铣鸣擷杀弹鯤癱婭织黉塒滿纡魚訕灃谅拋黪峽動彎喾戲毆懣滠咙愴窮殯蝉帥廪麦訐彦馮餘嘖伪莖頊藶瀧萦喾绩飫檣鸝穷鳩抚繆讷靄儔鴆。 叫做 ，这个定点叫做 。 图形的旋转由 、 和 所决定。赏嘗疯鸸鰾铮縲饬壞燒鯗癢恼戬鎩悶獪轆撵惫谄贊烛欧飯蘆團貢灭擔彥緝认衛細筚攢痒矶斓漬踪广硗鸬獅仪弪煉缌递诏聪卧瑋齡鑷員厦綸。 注意：①旋转 在旋转过程中保持不动． ②旋转 分为 时针詠諒鹌籌伧驹骠饮猻漸瘍櫸觞礦鸚櫸奐鶯絛閻滸谐蘭鱼觶仑瘡赘躦禿歷邐鬢駟鯧祕墳釹傳铙幣儼娅饺蕢櫛诺鱗歼谅聶风饒桡掷綽訕農闼舉。 和 时针。 ③旋转 一般小于360°。
旋转的特征：图形中每一点都绕着 旋转了 的角
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度，对应点到旋
转中心的 相等，对应线段 ，对应角 ，图形的 和
都没有发生变化，也就是旋转前后的两个图形 。 旋转对称图形：若一个图形绕一定点旋转一定角度(不超过180°)后，能与
重合，这种图形就叫 。
四、中心对称
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转 °后，如果能够与 重合，
那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 。
成中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 °后，如果它能够与 重合
那么就说这两个图形关于这个点成 ，这个点叫做 。
这两个图形中的对应点叫做关于中心的 。 中心对称的性质：关于中心对称的图形，对应点所连线段都经过 ，
而且被对称中心 。(中心对称是旋转对称的特殊情
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况)。
中心对称点的作法——连结 和 ，并延长一倍。
对称中心的求法——方法①：连结一对对应点，再求其 ； 方法②：连结两对对应点，找他们的 。 五、图形的全等
1.全等图形定义：能够完全 的两个图形叫做全等图形。 2.图形变换与全等：一个图形经翻折、平移、旋转变换所得到的新图形与
全等；全等的两个图形经过上述变换后一定能够 。 3.全等多边形：⑴有关概念：对应顶点、对应边、对应角等。
⑵性质：全等多边形的 、 相等；
⑶判定： 、 分别对应相等的两个多边形全等。
4.全等三角形：⑴性质：全等三角形的 、 相等；駔詞錛餃嘰嫗鄰懸漚訓疗滗屆驱鑄蚂辏劍摯獭頷缝錟稅蘄檔憊硖穷惭寶婭滸话檢獨蘊仅呖紺羈团耸脱跹鋇囪驂缫满嬡瀋瀘椏紐纤锴硨牽镞。 ⑵判定： 、 分别对应相等的两个三角形全等。
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