抛物线的性质(1)

课题:抛物线的几何性质(1)

【教学目的】：

1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量； 2、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平； 【教学重点】：抛物线的标准方程 【教学难点】：抛物线标准方程的不同形式 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教 具】：多媒体、实物投影仪 【教学过程】： 一、复习引入：

1、回顾椭圆和双曲线的定义 2、生活中抛物线的引例：

3、把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线 二、讲解新课： 1、 抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 注: (1)定点F不在这条定直线l；

(1)定点F在这条定直线l，则点的轨迹是什么？ 2、推导抛物线的标准方程： yDM如图所示，建立直角坐标系，设KFp（p0）,

pp,0)，准线l的方程为x，

22p2p2设抛物线上的点M(x,y)，则有(x)y|x| 22化简方程得 y22pxp0 那么焦点F的坐标为(KO(1)Fx 方程y22pxp0叫做抛物线的标准方程 （1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(它的准线方程是xp,0)， 2p 2 （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2px，x2py，x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出KFp（p0），则抛物线的标准方程如下： 222DyMyyMKO(1)FxMxDFODxyKOxFOKM(4)DF 学会学习,学会思考

(2)KD(3)

pp,0)，准线l：x 22pp(2)x22py(p0), 焦点:(0,)，准线l：y 22pp(3)y22px(p0), 焦点:(,0)，准线l：x 22pp(4) x22py(p0), 焦点:(0,)，准线l：y 22(1)y22px(p0), 焦点:(相同点：(1)抛物线都过原点；

(2)对称轴为坐标轴； (3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

12pp； ，即

442不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，

方程右端为2px、左端为y2；

图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，

方程右端为2py，左端为x （2）开口方向在x轴（或轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方

程右端取正号；

开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号 三、讲解范例：

2例1 （1）已知抛物线标准方程是y26x，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程 分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；

（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。

解析：（1）p3，焦点坐标是（

33，0）准线方程是x． 22p（2）焦点在y轴负半轴上，＝2，

22所以所求抛物线的标准议程是x8y．

例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F（－5，0） （2）经过点A（2，－3）

分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况 解：（1）焦点在x轴负半轴上，

p＝5， 22所以所求抛物线的标准议程是y20x．

2

2

（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y＝2px或x＝－2py． 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝

2

9 24 3学会学习,学会思考

点A（2，－3）坐标代入x＝－2py，即4＝6p，得2p＝

94x或x2＝－y 23例2 已知抛物线的标准方程是（1）y212x，（2）y12x2， ∴所求抛物线的标准方程是y2求它的焦点坐标和准线方程．

分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值．

解：（1）p6，焦点坐标是（3，0）准线方程x3 （2）先化为标准方程x准线方程是y2111y，p，焦点坐标是（0，）， 224481. 48四、课堂练习：

1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1）y＝8x

2

（2）x＝4y （3）2y＋3x＝0 （4）y2

2

12x 62．根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）焦点是F（－2，0） （2）准线方程是y1 3（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上 （4）经过点A（6，－2） 2

3．抛物线x＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标 点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p＞0； （3）根据图形判断解有几种可能 五、小结 ：小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念； 六、课后作业： 七、板书设计（略）

学会学习,学会思考