分式的运算及题型讲解

一、分式的乘除法 1、法则：

（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。

acac•用式子表示：bdbd

（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

用式子表示：

acadad•bdbcbc2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方

1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

anan用式子表示：bbn（其中n为正整数，a≠0）

2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有

多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。

三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法

1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

acacbbb用式子表示：

2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法

1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，

acadbcadbcbd。 再加减。用式子表示：bdbdbd2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）

有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

x2a241a2x2； 例计算：（1）； （2）a2a2x2（3）12x1x4 2xx2x2x【分类解析】

一、分式运算的几种技巧

x1x22x1、先约分后通分技巧例 计算x23x2+x24

分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算

x(x2)x1x1x1解：原式=(x1)(x2)+(x2)(x2)=x2+x2=x2

x23x3x25x712、分离整数技巧例 计算x23x2-x25x6-x24x3

分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

(x23x2)1解：原式=

(x25x6)1-

x23x2x25x61-x24x3

111=1+x23x2-1-x25x6-x24x3

111=(x1)(x2)-(x2)(x3)-(x1)(x3)

x3(x1)(x2)xx=(x1)(x2)(x3)=(x1)(x2)(x3)=-(x1)(x2)(x3)

1323、裂项相消技巧例 计算x(x1)+(x1)(x3)+(x3)(x6) 1111分析：此类题可利用n(nm)=m（n-m）裂项相消计算。

11131112解：原式=（x-x1）+2（x1-x3）+3（x3-x6）

611=x-x6=x(x6)

练习：

21124、分组计算技巧例 计算a2+a1-a1-a2

分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a-4，第二项、第三项分母乘积为a-1，采取分组计算简捷。

2

2

2112解：原式=（a2-a2）+（a1-a1）

1244=a24+a21=(a24)(a21)

练习：

5、分式求值问题全解 1）字母代入法

例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求

abcd的值. adabcbcdad【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3

所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简

abcd adabcbcdad=

aa1a2a3 aa3aa1a2a1a2a3aa3aa1a2a3 2a33a33a62a3aa3a1a2

2a33(a1)3(a2) =

=

=1 =

11 335 3【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。 2） 设值代入法

xyyzzxx2xyz2 例2. 已知，求证：

abbccaaabcbcx，zx，代入后分式的分子

aaxyz分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到、、连等，让它们都

abc【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到y等于k 则 x=ak y=bk z=ck

xyyzzxakbkbkckckak=

abbccaabbccaabbcca2 =k

abbcca 代入得

x2 =k2

a2【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件

xyz abcbc 则（1）yx，zx

aaxyz （2）设k 则x=ak y=bk z=ck

abcxyzxyz （3）设k 则k 其中abc0

abcabc 设

3） 整式代入法 例3. 已知：

112a3ab2b的值. 3，求分式

abaabb【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。 将条件化简成乘积形式，得

2(ab)3abba3，再将分式稍化简变为，可以发现分

(ab)abab子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-a

ba3ab

2a3ab2b2(ab)3ab6ab3ab3

aabb(ab)ab3abab4【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观

察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。 4） 变形代入法

这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。 例4（方程变形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc≠0，求

abbcca的值.

b2【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。

这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组

a+b+c=0 b=-2c ==>

a+2b+3c=0 a=c

用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出来

3abbcca2c22c2c2= 2244cb2a2ab6b2例5（非负变形）. 已知：ab8a6b250，求2的值.

a4ab4b222【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式

a2b28a6b25(a4)2(b3)20

其中(a4)0 (b3)0 所以(a4)=0 (b3)=0 得a4,b3

再带入原式很容易求出解。

例6（对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则

22221110.

b2c2a2c2a2b2a2b2c2【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c代替a，但是代数式a的符号和位置在三个分式中不同，如果用a(bc)代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。

如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如： 用a=-b-c代入bca中的a，得到-2bc 用b=-a-c代入cab中的b，得到-2ac 用c=-a-b代入abc中的c，得到-2ab

22222222222原式=

111abc0 2bc2ac2ab2abc例7（倒数变形）. 已知

xyxzyz2abca,b,c,且abc0.求证x xyxzyzbcacabxyxya改写成 的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将

xyxy【解析】已知条件是

1xy11的形式，使得x、y相互独立，简化已知条件。 axyxy写出变化后的形式

111111111，， axybxzcyz11111112()() cyzxyxzx112 abx2111 所以

xabcbcacab =

abc2abc 则x，得证。

bcacab =例8（归类变形）. 已知a111bc，且a、b、c互不相等，求证：a2b2c21 bca【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a表示b、c，能不能求出b、c的代数式

都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。

这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：

11bc，可以发现分式形式大致消失了， abcbbc剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc

将能从已知条件得到的关系列出来

abbccaab,bc,ca bcacab(bc)(ca)(ab)，

a2b2c2左边和左边相乘，右边和右边相乘得

(ab)(bc)(ca)所以abc1

222【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：

消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简 化简 结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简

代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。 【练习】

abc2a23bcb21、已知,则2 的值等于（ ） （设值代入）

234a2abc2A．

12319 B. C. D. 2352432b2b)(1)的值等于（ ） （整式代入） 2、若a2+b2=3ab,则(1+3ab3ab12 B. 0 C. 1 D. 231113、已知：a+b+c=0,abc=8.求证：＜0. （非负变形）

abcA．

4、已知：a+b+c=0.

求证：a111111bc30. （代数式归类变形） bcacab5、已知abc=1，求证：

abc1（对应变形）

aba1bcb1acc1