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度量空间之间的映射1

2023-09-06 来源:帮我找美食网
󰀃20♠5󰀂1度量空间之间的映射

假设X,Y是两个非空集合,所谓由X到Y的一个映射,用通俗的话来说,就是某个确定的对应法则,使得对每个x∈X,都有唯一的y∈Y与之相对应。我们常用f,g等记号表示这种对应法则,并把按对应法则f与x∈X对应的元素y∈Y记为f(x),并常把f(x)称为x在映射f下的值。我们常称X为映射f的定义域,把Y称为映射f的陪域,并把映射记号f及其定义域X与陪域Y一起,记为f:X→Y,以表明这样的约定:严格说来,两个映射,只有当其对应法则,定义域以及陪域都分别相同时,才被视作相同的映射。另外,映射的陪域不一定是映射的值域,后者是{y∈Y|∃x∈Xs.t.f(x)=y},它当然总是前者的子集。类似于实值函数的情形,我们有如下的定义和点列式刻画:定义1:假假设(X,dX),(Y,dY)是两个度量空间,A⊆X,a∈X是A的一个聚点,b∈Y,f:A→Y。我们称f在a处有极限b,并且记limx→af(x)=b,如果对每个ε>0,都存在某个δ>0,使得对每个x∈A,只要满足0定理1:如如果(X,dx),(Y,dY)是度量空间,A⊆X,a∈X是A的聚点,b∈Y,f:A→Y。那么以下陈述等价:(i)limx→af(x)=b;(ii)对每个含于A\\{a}的点列{xn}∞,只要limn→∞xn=a,就有limn→∞f(xn)=b;n=1定义2:假假设(X,dx),(Y,dY)是度量空间,A⊆X,a∈A,映射f:A→Y称为在a处连续,如果对每个ε>0,都存在δ>0,使得对每个x∈A,只要dX(x,a)<δ,就有dY(f(x),f(a))<ε。如果映射f:A→Y在A上每点处都连续,我们就称f:A→Y是连续映射。

注意,定义映射f:A→Y在a处连续时,我们要求a∈A,但不要求a是A的聚点。因此,如果a∈A不是A的聚点,也就是说,存在某δ>0,使得BX(a,δ)∩A={a}(此时我们称a是A的孤立点),据定义f:A→Y在a处总连续。定理2:假假设(X,dx),(Y,dY)是度量空间,A⊆X,a∈A,映射f:A→Y;那么以下两个陈述等价:(i)f在a处连续;(ii)对每个含于A的点列{xn}∞,只要limn→∞xn=a,就有limn→∞f(xn)=f(a)。n=1

以下我们设法用开集来表述连续性的概念。首先我们需要以下引理:

引理3:假假设X,Y非空;A⊆X,B⊆Y;映射f:X→Y。如果记f(A):={y∈Y|∃x∈As.t.f(x)=y},并且f(B):={x∈X|∃y∈Ys.t.f(x)=y},那么以下两陈述等价:(i)f(A)⊆B;(ii)A⊆f−1(B);

−1

˜∈A,要证存在某y˜∈B,使f(x˜)=y˜。如果记y0:=f(x˜),那么据f(A)的定义,可证明:“(i)=⇒(ii)”对每个x

˜:=y0即得所求。“(ii)=⇒(i)”对每个y˜∈f(A),要证y˜∈B;据f(A)的见y0∈f(A)。而据(i),y0∈f(A)⊆B。取y

−1˜。但据(ii),x0∈A⊆f(B);于是有某y0∈B,使f(x0)=y0。但因f:X→Y是映定义,有某x0∈A,使f(x0)=y

˜必成立。于是y˜∈B。󰀁射,y0=y

定理4:如如果(X,dX),(Y,dY)是度量空间,f:X→Y,a∈X,那么以下两个陈述等价:(i)f:X→Y在a处连

续;(ii)对于Y中包含f(a)的每个开集V,都存在X中包含a的某个开集U,使得f(U)⊆V。

证明:“(i)=⇒(ii)”由于f(a)∈V,且V是Y的开集,可知有某个ε>0,使得BY(f(a),ε)⊆V;由于f:X→Y在a处连续,据定义有δ>0,使得对每个x∈BX(a,δ),都有f(x)∈BY(f(a),ε),或者更学究气地,都存在y∈BY(f(a),ε),使得y=f(x)。如果记U:=BX(a,δ),自然有U⊆f−1(BY(f(a),ε));据引理3,也就是说,f(U)⊆BY(f(a),ε)⊆V

“(ii)=⇒(i)”;由(ii),特别地,对每个ε>0,以及Y的包含f(a)的开集BY(f(a),ε),都有X的包含a的开集U,使得f(U)⊆BY(f(a),ε);据引理3,也就是说,U⊆f−1(BY(f(a),ε))。a属于开集U,于是有某个δ>0,使得BX(a,δ)⊆U⊆f−1(BY(f(a),ε));也就是说,对每个x∈BX(a,δ),都存在y∈BY(f(a),ε),使得y=f(x);更直白地说,对每个x∈BX(a,δ),都有f(x)∈BY(f(a),ε);于是据连续的定义知(i)成立。󰀁

定理5:如如果(X,dX),(Y,dY)是度量空间,f:X→Y;那么以下陈述等价:(i)f:X→Y在X上连续;(ii)对Y的任何开集V,f−1(V)都是X的开集;

证明:“(i)=⇒(ii)”。假如V∩f(X)=∅,那么可见f−1(V)󰀁∅是X的开集。假如V∩f(X)=∅,我们先来说明,如同引理3的证明的最末一句所说,对每个a∈f−1(V),自然有f(a)∈V。于是据定理4,因为f在a处连续,可以找到X的包含a的开集U,使得f(U)⊆V或等价地,U⊆f−1(V);这说明,对f−1(V)中的每个元素a,a都是f−1(V)的内点,于是f−1(V)是X的开集。

“(ii)=⇒(i)”;设a∈X。任取Y的包含f(a)的开集V,由(ii)可知,f−1(V)是X的开集。显然f−1(V)包含a。取U:=f−1(V),由定理4知道,f:X→Y在a处连续。由于该论证对每个a∈X成立,于是f:X→Y在X上连续。󰀁

引理6:如如果X,Y为非空集合,f:X→Y是映射,那么对任何F⊆Y,,都有f−1(Y\\F)=X\\f−1(F)。

˜∈f−1(Y\\F),那么存在y0∈Y\\F,使得f(x˜)=y0;于是当然x˜∈X,我们来证x˜󰀂f−1(F)。确实,否则证明:如果x

˜)=y1;但是f:X→Y是映射,因此必有y1=y0。我们得到矛盾。的话,存在y1∈F,使得f(x

˜∈X\\f−1(F),由f−1(F)的定义,可知y˜:=f(x˜)󰀂F;我们来证,存在某y0∈Y\\F,使f(x˜)=y0。由再设x

˜。而因为y˜∈Y\\F,这样的y0确为所欲求。󰀁于f:X→Y是映射,这样的y0存在并且唯一,因此也就是此前定义的y

推论7:如如果(X,dX),(Y,dY)是度量空间,f:X→Y;那么以下两个陈述等价:(i)f:X→Y在X上连

续;(ii)对X的每个闭集F,f−1(F)都是X的闭集。

证明:“(i)=⇒(ii)”。。对Y的每个闭集F,Y\\F都是Y的开集,由(i)及定理5,可知f−1(Y\\F)是X的开集,但据引理6,f−1(Y\\F)=X\\f−1(F),于是f−1(F)是X的闭集。

“(ii)=⇒(i)”;假设(ii)成立。据定理5,对Y的每个开集U,我们只要证明f−1(U)是X的开集,即可得到(i)。但是对Y的开集U,F:=Y\\U是Y的闭集,于是据(ii)及引理6,f−1(U)=f−1(Y\\F)=X\\f−1(F)是X中闭集f−1(F)的余集,于是它确实是X的开集。󰀁

在以下定理的证明中,有一系列的集合包含关系,同学们可自行给出细节。有些包含关系应是等同关系,但在证明中仅写明了所需的包含方向。

定理8:如如果(X,dX),(Y,dY)是度量空间,f:X→Y在X上连续,而且X是紧度量空间,那么f(X):={y∈Y|∃x∈Xs.t.y=f(x)}是Y的紧集。

证明:设Ω:={Oj|j∈J}是Y中关于f(X)的一个开覆盖,那么f(X)⊆∪j∈JOj,于是X⊆f−1(f(X))⊆f−1(∪j∈JOj)⊆

˜,使∪j∈Jf−1(Oj);据定理5,对任何j∈J,f−1(Oj)都是X的开集,而(X,dX)是紧致的,于是存在J的有限子集J

−1−1−1

得X⊆∪j∈J˜f(Oj),于是f(X)⊆f(∪j∈J˜f(Oj))⊆∪j∈J˜f(f(Oj))⊆∪j∈J˜Oj。这说明f(X)是Y的紧集。󰀁定义3:设设(X,dX),(Y,dY)是度量空间,我们称f:X→Y在X上一致连续,如果对每个ε>0,都有某个δ>0,使得对任意x1,x2∈X,只要dX(x1,x2)<δ,就有dY(f(x1),f(x2))<ε。

定理9:如如果(X,dX),(Y,dY)是度量空间,f:X→Y在X上连续,并且(X,dX)是紧致的,那么f:X→Y在X上一致连续。

根据定理8,我们可以用紧集的定义,模仿对实值函数相应定理的证明,得到上述定理的证明。或者,也可以用紧集的刻画,给出如下证明。

定理9的证明:假设f:X→Y在X上不一致连续,那么存在ε0>0,使得对每个n∈N,都存在sn,tn∈X,

1使得dX(sn,tn)

列{snk}k=1,使得limk→∞snk=x0。这样易知limk→∞tnk=x0也成立;由于f:X→Y在x0处连续,据连续映射的点列式刻画,知道limk→∞f(snk)=limk→∞f(tnk)=f(x0),但同时对每个k∈N,dY(f(snk),f(tnk))≥ε0。于是得到矛盾。󰀁

定理10:如如果(X,dX),(Y,dY)是度量空间,f:X→Y在X上连续,并且(X,dX)是连通的,那么f(X)也是连通的(也就是说,作为Y的度量子空间,f(X)是连通的度量空间)。

˜,B˜,使证明:用反证法。假设作为Y的度量子空间,f(X)不是连通的,那么存在f(X)的两个非空开集A

˜∩B˜∪B˜=f(X)∩A,B˜,B˜=∅,A˜=f(X)。于是存在Y的两个开集A,B,使得A˜=f(X)∩B;由于A˜均非空,得A

可见A,B也非空。且据定理5,f−1(A),f−1(B)都是X的开集。由于X⊆f−1(f(X))=f−1(f(X)∩(A∪B))⊆f−1(A∪B)⊆f−1(A)∪f−1(B)⊆X;故知道f−1(A)∪f−1(B)=X;最后f−1(A)∩f−1(B)=f−1(A)∩f−1(B)∩X⊆f−1(A)∩f−1(B)∩f−1(f(X))⊆

˜∩B˜)=f−1(∅)=∅;于是(X,dX)不连通。我们得到矛盾。󰀁f−1(A∩B∩f(X))=f−1(A

从前节关于R的连通性的讨论,容易得到定理11。利用定理11,区间的性质和定理9,可得定理12。定理11:R中任何子集A如果多于两点,那么A是连通的当且仅当A是一个区间。

定理12:假假设(X,dX)是连通的度量空间,f:X→R是X上的连续函数。如果a,b∈X,那么对介于f(a),f(b)之

˜∈X,使得f(x˜)=η。间的任何数η,都存在某个x

以下我们介绍压缩映射原理。我们常把满足以下定理结论的点称为映射T:X→X的不动点。

定义4:如如果(X,dX)是度量空间,我们称T:X→X为X上的压缩映射,如果存在某个α>0,使得对任意s,t∈X,

都有dX(T(s),T(t))≤α·dX(s,t)。

定理13(巴拿赫不动点定理):假假设(X,dX)是完备的度量空间,T:X→X是X上的压缩映射,那么存在唯一的x∈X,使得T(x)=x。

定理13的证明:任取x0∈X。对n∈N,我们递归地定义X中的点xn:=T(xn−1)。注意到,我们只要能说明点列{xn}∞是(X,dX)的柯西列,由于(X,dX)是完备的,就可得到某个x∈X,使得limn→∞xn=x。而由于T:X→X是X上n=1

的压缩映射,易见T:X→X在X上连续,由连续映射的点列式刻画,又可见x=limn→∞xn=limn→∞T(xn−1)=T(limn→∞xn−1)=T(x)成立。这样的x是唯一的,确实,不然的话另有y∈X,使得y󰀁x,y=T(y),那么0n,就有dX(xm,xn)≤dX(xm,xm−1)+

n

dX(xm−1,xm−2)+..+dX(xn+1,xn)≤(αm−1+αm−2+...+αn)·dX(x1,x0)≤1α−α·dX(x1,x0);结论由此易得。󰀁

接下来我们讨论本课程中十分重要的一类映射,也即从某个欧氏空间到另一个欧氏空间的线性映射。

定义5:设设m,n∈N,L:Rn→Rm,我们称映射L:Rn→Rm是线性的,如果对任意⃗x,⃗y∈Rn,任意α,β∈R,均

2

有L(α⃗x+β⃗y)=αL(⃗x)+βL(⃗y)。

由线性代数的知识,可知对每个线性映射L:Rn→Rm,都存在某个m×n矩阵AL:=(aij),使得对每个⃗x∈Rn有L(⃗x)=

nmn

AL⃗x。反过来,对每个m×n矩阵A都存在唯一的线性映射LA:R→R,使得对每个⃗x∈R有LA(⃗x)=A⃗x。所有

nmnm

从R到R的线性映射的所构成的集合,记为Lin(R,R),和所有m×n实矩阵所构成的集合,记为Mat(m×n,R),以如上描述的方式自然地建立起上述对应关系。为简便起见,我们把上述对应于L∈Lin(Rn,Rm)的m×n矩阵记为[L]。在Lin(Rn,Rm)上,可以自然地定义加法和数乘以构成线形空间。这样,映射[]:Lin(Rn,Rm)→Mat(m×n,R)是双射且对任意L1,L2∈Lin(Rn,Rm),任意α,β∈R,均有[αL1+βL2]=α[L1]+β[L2]。

如果L:Rn→Rm是满射,那么一定有m≤n;而如果L:Rn→Rm是单射,那么一定有n≤m。当m=n时,我们用End(Rn)来记Lin(Rn,Rm)。我们并且把End(Rn)中所有双射(也即是说,既是单射,又是满射)构成的集合记为Aut(Rn)。它与n×n实矩阵中所有可逆矩阵构成的集合(记为GL(n,Rn))之间,正好可以建立上述的一一对应。

当L∈Aut(Rn)时,由于L是双射,于是存在逆映射L−1:Rn→Rn。L−1自然也是双射。可以证明L−1是线性的,于是L−1∈Aut(Rn)。可以证明,[L−1]=[L]−1。且对任何L1,L2∈Aut(Rn),L1◦L2∈Aut(Rn),且[L1◦L2]=[L1]·[L2]。另外,注意每个L∈Lin(Rn,Rm)都是一致连续的映射,这是因为

∑∑n21

n⃗⃗⃗2定理14:如如果L∈Lin(Rn,Rm),[L]=(aij),记c:=(mi=1j=1aij)那么对每个h∈R,都有∥L(h)∥2≤c·∥h∥2。定理14不等式两端的范数分别是Rn和Rm的欧氏范数,更准确地,不等式应该写成∥L(⃗h)∥Rn,2≤∥⃗h∥Rm,2,但按照惯

例,我们常采用简化的记号。在以下证明中,约定⃗h∈Rn总是=(h1,..,hn)。

∑m∑n2∑m∑n2∑n2∑m∑n

22⃗⃗a)·(h))=∥h∥·((((ah)≤=定理14的证明:对每个⃗h∈Rn,∥L(⃗h)∥2=∥[L]h∥2ijji=1j=1aij)。󰀁j=1j=1i=1i=1k=122ijk

以后我们将在线性空间Lin(Rn,Rm)上定义范数如下:对每个L∈Lin(Rn,Rm),我们定义∥L∥:=sup{

⃗0};由于定理14,该定义式右端集合一定有上界,于是∥L∥是妥善定义的。我们把验证它是范数的工作留到将来。最后,

我们讨论度量空间的路径连通性。

定义6:设设(X,dX)是度量空间,如果[α,β]⊆R,γ:[α,β]→X是连续映射,那么我们把γ:[α,β]→X称为(X,dX)中连接γ(α),γ(β)∈X的路径。我们称(X,dX)是路径连通的,如果对任意a,b∈X,都存在某[α,β]⊆R以及某个连续映射γ:[α,β]→X,使得γ(α)=a,γ(β)=b。度量空间(X,dX)中的子集S称为路径连通的,如果它作为(X,dX)的度量子空间是路径连通的。

定义7:如如果X是线性空间,对a,b∈X,我们记[a,b]:={a+t(b−a)|t∈[0,1]},并称它为X中连接x,y的直线段。如果A是X的子集,我们称A是X中的凸集,如果对任意a,b∈A,连接a,b的直线段[a,b]都含于A。

现设线性空间X上定义了范数∥·∥,而对某a,b∈X,有[a,b]⊆X,定义γ:[0,1]→X如下:对每个t∈[0,1],γ(t):=a+t(b−a),那么γ:[0,1]→X是连续映射。由此可知,赋范线性空间里的凸集都是路径连通的。

另外,当n≥2时,Rn\\{⃗0}以及球面Sn−1:={⃗x∈Rn|∥⃗x∥2=1}都是路径连通的。事实上,对任意⃗a,⃗b∈Rn\\{⃗0},

n

当n≥2时,总存在某⃗c∈R\\{⃗0},使得⃗0󰀂[⃗a,⃗c]且⃗0󰀂[⃗c,⃗b]。构造连接⃗a,⃗b的路径的细节留给同学们。而如

n−1nn⃗:[α,β]→R\\{⃗果⃗a,⃗b∈S,随便取定一个在R\\{⃗0}中连接⃗a,⃗b的路径γ0},那么我们可以构造在Sn−1中连接⃗a,⃗b的路

⃗γ(t)⃗:[α,β]→Sn−1如下,对任意t∈[α,β],ζ⃗(t):=径ζ。⃗(t)∥2∥γ定理15:如如果度量空间(X,dX)是路径连通的,那么它必然是连通的。

证明:用反证法。假如(X,dX)不连通,那么有(X,dX)的非空开集U,V,使得U∩V=∅,U∪V=X。我们

取a∈U,b∈V,由于(X,dX)路径连通,有连续映射γ:[α,β]→X,使得γ(α)=a,γ(β)=b。那么γ−1(U),γ−1(V)均是[α,β]的开集,且它们均为非空,且γ−1(U)∩γ−1(V)=∅,γ−1(U)∪γ−1(V)=[α,β];而这与[α,β]的连通性矛盾。󰀁定理16:假假设X是赋范线性空间,A是X的开集,且A是连通的。那么A必定是路径连通的。并且对任意a,b∈A,都有某M∈N及a0:=a,a1...aM−1aM:=b使对每个k∈{1,..,M},都有[ak−1,ak]⊆A。

如果对某个赋范线性空间X的某个子集A,定理16中后一个结论成立,那么我们称该子集A为折线连通的。明显地,赋范线性空间中折线连通的子集必定是路径连通的。反之当然不必成立。

定理16的证明:取定a∈A。考虑A中子集U:={x∈A|∃M,∃a0:=a,...,aM−1,aM:=x,s.t.∀k∈{1,..,M},[ak−1,ak]⊆A}。注意到我们只需证U有以下性质:(i)U是X的开集,因而是A的开集。(ii)V:=A\\U是X的开集,因而也是A的开集。一旦证得这两条,那么由于U非空而A连通,迫使V=∅,推得A=U,于是定理得证。

为证(i),取定u∈U。因A是X的开集,存在某δ>0,使BX(u,δ)⊆A。我们来证BX(u,δ)⊆U。确实,BX(u,δ)中每点与u均可用含于BX(u,δ)⊆A的直线段连接。于是从u∈U可推得,BX(u,δ)中每点都属于U。为证(ii),考虑确定的v∈V。利用证(i)时所用事实,可见含于A的以v为中心的每个开球都含于V=A\\U,否则会导致v∈A的矛盾。󰀁我们把任何赋范线性空间(特别是欧氏空间)的连通开集称为该空间中的开区域。由定理16,开区域是折线连通的,由定理15,任何赋范线性空间里折线连通的开集均是连通开集,于是也都是开区域。

∥L(⃗x)∥⃗∥x∥|⃗x∈Rn,⃗x󰀁

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