高考数学-直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型

直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识：

v20 1、两条直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2垂直：则k1k21；两条直线垂直，则直线所在的向量v1g2、韦达定理：若一元二次方程axbxc0(a0)有两个不同的根x1,x2，则x1x23、中点坐标公式：x2rrbc,x1x2。 aax1x2yy,y12，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。 224、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线ykxb(k0)上，

则y1kx1b，y2kx2b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(kx1kx2)2(1k2)(x1x2)2(1k2)[(x1x2)24x1x2]

2或者AB(x1x2)(y1y2)(x1x2)(y1y2)(12)(y1y2)题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 221k1k221k(112)[(yy)4y1y2]。 122kx2y21始终有交点，求m的取值范围 例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:4m解： 1m且m4。

题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线l:yk(x1)，k0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由2yk(x1)2222消y整理，得kx(2k1)xk0 ① 2yx2由直线和抛物线交于两点，得

(2k21)24k44k210 即0k1 ② 42k21,x1x21。 由韦达定理，得：x1x2k22k211,)。 则线段AB的中点为(2k22k1112k2(x) 线段的垂直平分线方程为：y22kk2k1

令y=0,得x01111，则E(,0) 222k22k2QABE为正三角形，

E(311AB。 到直线AB的距离d为,0)222k2221k214k22QAB(x1x2)(y1y2) g1k d2kk2314k21k22g1k 22k2k解得k395满足②式， 此时x0。 133题型三：动弦过定点的问题 3x2y2例题3、已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

2ab（I）求椭圆的方程；

（II）若直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是明你的结论 心率el上异于点T的任一点，直

否通过椭圆的焦点？并证解：（I）由已知椭圆C的离

c3，a2,则得c3,b1。 a2x2y21 从而椭圆的方程为4（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为yk1(x2)，由222y整理得(14k1)x16k2x16k140

yk1(x2)消22x4y4Q2和x1是方程的两个根，

4k116k12428k12y 则，， 2x1x1114k1214k1214k1228k124k1即点M的坐标为(,)， 2214k114k128k224k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 2214k214k2Qypk1(t2),ypk2(t2)

2

k1k22，

k1k2tyy1y2y1， xx1x2x1Q直线MN的方程为：

令y=0，得xx2y1x1y24，将点M、N的坐标代入，化简后得：x

y1y2t又Qt2，042 tQ椭圆的焦点为(3,0)

434 3，即t3t故当t43时，MN过椭圆的焦点。 3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 x2y2例题4、已知点A、B、C是椭圆E：221 (ab0)上的三点，其中点A(23,0)abuuuruuuruuuruuur是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且ACgBC0，BC2AC，如图。

(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；

(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x3对称，求直线PQ的斜率。

uuuruuur解：(I) QBC2AC，且BC过椭圆的中心O uuuruuurOCAC

uuuruuurQACgBC0 ACO

2又QA (23,0) 点C的坐标为(3,3)。

QA(23,0)是椭圆的右顶点，

x2y2a23，则椭圆方程为： 1

12b22将点C(3,3)代入方程，得b4，

x2y2椭圆E的方程为1

1243

(II)Q 直线PC与直线QC关于直线x3对称，

设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，从而直线PC的方程为：

y3k(x3)，即ykx3(1k)，

ykx3(1k)222(13k)x63k(1k)x9k18k30 由2消y，整理得：2x3y120Qx3是方程的一个根，

9k218k39k218k3xPg3即xP 2213k3(13k)同理可得：

9k218k3 xQ23(13k)QyPyQkxP3(1k)kxQ3(1k)＝k(xPxQ)23k＝36k9k218k39k218k3＝ xPxQ2223(13k)3(13k)3(13k)12k 23(13k)kPQyPyQ11则直线PQ的斜率为定值。

3xPxQ3题型五：面积问题 6x2y2,短轴一个端点到右焦点的距离为3。 例题5、已知椭圆C：221（a＞b＞0）的离心率为3ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3，求△AOB面积的最大值。 2c6，x22解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意a3b1，所求椭圆方程为y1。

3a3，（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)。 （1）当AB⊥x轴时，AB3。

（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm。

4

由已知m1k23232，得m(k1)。

42222把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k1)x6kmx3m30，

3(m21)6km，x1x2。 x1x2223k13k136k2m212(m21) AB(1k)(x2x1)(1k)2223k1(3k1)222212(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)

(3k21)2(3k21)2312k2121212k343(k0)≤34当且仅当，即时等号成立。当k09k22139k6k1236k9k226k时，AB3，综上所述ABmax2。

当AB最大时，△AOB面积取最大值S问题六：范围问题（本质是函数问题） 133ABmax。 222x2y21的左、右焦点。 例6、设F1、F2分别是椭圆4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线

l的斜率k的取值范围。

解：（Ⅰ）易知a2,b1,c3 所以F13,0,F223,0，设Px,y，则

uuuruuuurPF1PF23x,y,x213x,yxy3x133x28

4422uuuruuuur因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值2 uuuruuuur当x2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值1

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（Ⅱ）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l:ykx2,Ax1,y2,Bx2,y2，

ykx2212联立x2，消去y，整理得：kx4kx30

24y14 ∴x1x24k1k42,x1x231k42

由4k4k0023312kk34k30得：或 又224uuuruuur0A0B90cosA0B0OAOB0

uuuruuur∴OAOBx1x2y1y20

8k2k214 y1y2kx12kx22kx1x22kx1x24111k2k2k244423k2k210，即k24 ∴2k2 ∵

11k2k244333k2 或22故由①、②得2k题型七、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） x2y2例7、设椭圆E: 221（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，

ab（I）求椭圆E的方程；

uuuruuur（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写

出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

x2y2解:（1）因为椭圆E: 221（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,

ab42111a28x2y2a2b2a281 所以解得所以2椭圆E的方程为846111b41a2b2b246

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条

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切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且uOAuuruOBuur,设该圆的

y切线方程为ykxm解方程组kxmx2y2841得

x22(kxm)28,即

(12k2)x24kmx2m280,

则△

=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8k2m240

4kmx1x212k22m2,x1x8 212k2

要使uOAuuruOBuur, 需使x1x2y1y20,即

2m28m28k212k212k20, 所以3m28k280,所以k23m2880

又8k2m240,

所以m2226263m28,即m3或m3,

因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为

rm21k2,rm21k2m213m2883,8r263, 8

所求的圆为x2y283,此时圆的切线ykxm都满足m263或m263, 而当切线的斜率不存在时切线为x263与椭圆x2y2841的两个交点 为(263,263)或(263,263)满足uOAuuruOBuur,

综上, 存在圆心在原点的圆x2y283，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

uOAuuruOBuur.

xx4km因为1212k22, xx2m81212k2所以

3234k45k214k44k21323[1k24k44k21], ①k0时|AB|323[114k21]k24 因为4k21k248所以011, 4k218k24所以3233213[14k21]12,

k24

所以436|AB|23当且仅当k22时取”=”. ② 当k0时,|AB|463. ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为

(262623,3)或(63,263),所以此时|AB|463, 综上, |AB |的取值范围为436|AB|23即: |AB|[436,23]

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