2007年广东高考(理科)数学试题(附答案)

数学（理科）

绝密★启用前

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、

座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点

涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定

区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，

再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V1sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 3 如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B). 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B).

用最小二乘法求线性回归方程系数公式bxynxyiii1nnxi12inx2,aybx.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合要求的. 1.已知函数f(x)11x

1x)的定义域为N，则MN 的定义域为M，g(x)ln(B.xx1 C.x1x1

A.xx1

D.

2.若复数(1bi)(2i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数）则b＝

11 C. 22123.若函数f(x)sinx(xR),则f(x)是

2

A.2

B.

D.2

的奇函数 2C.最小正周期为2的偶函数

A.最小正周期为

B.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

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4.客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是

A B C D 5.已知数|an|的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8,则k A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

6.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、„、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含

160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A. i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<9

7.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

8.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,bS，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a﹡b与之对应）.若对任意的a,bS,有 恒成立的是 a﹡(b﹡a)b,则对任意的a,bS,下列等式中不．

A. (a﹡b)﹡aa B. [a﹡(b﹡a)]﹡(a﹡b)a

C. b﹡(b﹡b)b D. (a﹡b)﹡[b﹡(a﹡b)b

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只

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能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.

9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示） 10.若向量a,b满足ab1,a与b的夹角为120°，则

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aaab .

11.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px (p0)的焦点，则该抛物线的准线方

程是 .

12.如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝ 图4 ; f(n)＝ .（答案用数字或n的解析式表示）

xt3l13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为，

y3t(参数tR),圆C的参数方程为x2cos则圆C的圆心坐标 (参数0，2)，

y2sin2为 ，圆心到直线l的距离为 .

14.（不等式选讲选做题）设函数f(x)2x1x3,则f(2)＝ ;若f(x)2，则x的取值范围是 .

15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则

∠DAC＝ ，线段AE的长为 .

图5

三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）

已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

（1）若c5，求sin∠A的值;

（2）若∠A是钝角，求c的取值范围. 17.(本题满分12分)

下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. x 3 4 5 6 第3页 共9页

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y 2.5 数学（理科） 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bxa;

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线yx相y2切于坐标原点O.椭圆2＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.

9a（1）求圆C的方程.

x2（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分14分）

如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，

点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BEx V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积. （1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

(3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值 20.（本小题满分14分）

已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围. 21.（本小题满分14分）

已知函数f(x)x2x1, 、是方程f(x)0的两个根(),f(x)是f(x)的导数.设a11,an1an(1)求、的值；

(2)证明：对任意的正整数n，都有an; (3)记bnln

f(an)(n1,2,), f(an)an (n1,2,),求数列{bn}的前n项和Sn.

an第4页 共9页

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参考答案

一. CADBB CBA

115n(n1)(n2)n2n二. 9. 10. 11. x 12. ,12 ,

92422 13. (0,2), 22 14. 6, [1, 1] 15. 30, 3 三.解答题

16.(1)解:AC25,设AC中点为M,则cosAAMAB525; sinA55 (2)解:AC(c3,4),AB(3,4),若A是钝角,则

ACAB3(c3)160c17. 解: (1) 散点图略 (2)

25. 3XY66.5 Xiii1i1442i3242526286 X4.5 Y3.5

ˆ66.544.53.566.5630.7 ; aˆ3.50.74.50.35 ˆYbXb28644.58681 所求的回归方程为 y0.7x0.35

(3) x100, y1000.70.3570.35吨,

预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65(吨) 18. 解:(1) 设圆C 的圆心为 (m,n)

mn,m0,n0m2 则  解得

n2mn222 所求的圆的方程为 (x2)(y2)8

(2) 由已知可得 2a10 a5

22x2y21 , 右焦点为 F(4,0). 椭圆的方程为

25922412(x2)(y2)8Q(,) 设存在点Q(x,y)C满足条件,则解得2255(x4)y16第6页 共9页

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故存在符合要求的点Q(, 19.(1)V412). 55:

解

11x(96x)x (0x36)326zP63即V36xx(0x36);

36 (2)

DV36626x(36x2)1212AEBy,

CFx(0,6)时,V0; x(6,36)时,V0;

x6时V(x)取得最大值.

x

(3)以E为空间坐标原点,直线EF为x轴,直线EB为y轴,直线EP为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,666,0),C(3,636,0),AC(3,36,0); P(0,0,6F),(6,0,P0F)1 7设异面直线(,6,0,6)AC与PF夹角是

cos36376720.解:若a0,则f(x)2x3有唯一零点为

23[1,1],故a0不符合要求; 22由f(x)2ax2x3a0a(2x1)32xa32x, x[1,1]且2(2x1)2372(2x26x1)22x6x10xx[1,1], .由a当时,1x22(2x21)2x2371, 222),(,x1)时,a0,a在两个区间上分别递增; 22当x[1,第7页 共9页

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当x(x1,22),(,1]时, a0,a在两个区间上分别递减; 22x1时,a1,x1由

x1时,a5,

372时,a37 2a(,分析如图:

37][1,) 2解法二: 若a0 , f(x)2x3 ,显然在上没有 零点, 所以 a0

令 48a3a8a224a40

得 a37 237时, yfx恰有一个零点在2 当 a1,1上;

当 f1f1a1a50

即 1a5 时, yfx也恰有一个零点在

1,1上;

当 yfx在1,1上有两个零点时, 则

a0a08a2248a224a40a40111111  或

2a2af10f10f10f10第8页 共9页

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解得a5或a37 237或 ; a1 2因此a的取值范围是 a

21解:(1) 由 xx10 得x2151515   22251,命题成立; 251, 2 (2)(数学归纳法)①当n1时,a11②假设当nk(k1,kN*)时命题成立,即akak1a12ak12kak21258ak1251151, 2,又等号成立时ak22162ak51*时,ak1nk1时命题成立;由①②知对任意nN均有an. 222anan1an1 (3) f(x)2x1 an1an 2an12an12an1(an)2(21)(an)2 an1 2an12an12an1a2aa(an)2an1 同理 an1 (n)lnn12lnnaaaa2an1n1nn1n  bn12bn 又 b1lna13515 ln4lna1235 数列bn是一个首项为 4ln15,公比为2的等比数列; 24ln Sn

1512n15242n1ln. 122第9页 共9页