精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习理

面向量综合练练习 理

训练目标 (1)向量知识的综合运用；(2)向量与其他知识的结合． (1)向量与三角函数；(2)向量与解三角形；(3)向量与平面解析几何；(4)与平训练题型 面向量有关的新定义问题． (1)利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；(2)解题策略 解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法；(3)新定义问题应对条件转化，化为学过的知识再求解. →1→→→→

1．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．

2→→→

2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．

→→→→

3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD中，若AC·AD＝AC·BD＝3，则线段AC的长为________．

θπθsin ，cos4．已知向量a＝2＋4，

2

b＝3sin2＋4，cos ，θ∈(0，π)，并且满足a∥b，则θ的值为________．

2

5．(2016·安徽六安一中月考)已知△ABC是边长为1的正三角形，动点M在平面ABC内，→→→→→

若AM·AB＜0，|CM|＝1，则CM·AB的取值范围是________．

6．在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(1,0)，P是x轴上任意一点，平面上→→→→

点M满足：PM·PB≥CM·CB对任意P恒成立，则点M的轨迹方程为______． π→→

7．在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，则当A＝时，△ABC的面积为________．

68．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A位于两平行直→→

线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1,3，点B，C分别在m，n上，|AB＋AC|＝5，→→

则AB·AC的最大值是________．



θπθ

a·b，当a，b不共线时，

9．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝

|a－b|，当a，b共线时

(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论： ①a⊗b＝b⊗a；

②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)； ③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；

④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.

以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 10．已知m，x∈R，向量a＝(x，－m)，b＝((m＋1)x，x)． (1)当m＞0时，若|a|＜|b|，求x的取值范围；

(2)若a·b＞1－m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

答案精析

π

1．90° 2.4 3.3 4. 31

5．[－1，－)

2

13

解析 如图，以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则B(1,0)，C(，)，

221232→→→

设M(x，y)，AM·AB＝(x，y)·(1,0)＝x＜0，由|CM|＝1得(x－)＋(y－)＝1，

2211311→→

所以－≤x＜0，所以CM·AB＝(x－，y－)·(1,0)＝x－∈[－1，－)．

22222

6．x＝0

→→→→解析 设P(x0,0)，M(x，y)，则由PM·PB≥CM·CB可得(x－x0)(2－x0)≥x－1，x0∈R恒成立，即x0－(x＋2)x0＋x＋1≥0，x0∈R恒成立，所以Δ＝(x＋2)－4(x＋1)≤0，化简得x≤0，则x＝0，即x＝0为点M的轨迹方程． 17. 6

π

解析 已知A＝，

6

ππ→→

由题意得|AB||AC|cos ＝tan ，

66→→2

则|AB||AC|＝，

3

1→→π1211

所以△ABC的面积S＝|AB||AC|·sin ＝××＝.

26232621

8. 4

→→→→→→5→→→

解析 设P为BC的中点，则AB＋AC＝2AP，从而由|AB＋AC|＝5得|AP|＝，又AB·AC＝(AP221→→→→2→225→2→→2→→25

＋PB)·(AP＋PC)＝AP－PB＝－PB，因为|BC|≥2，所以PB≥1，故AB·AC≤－1＝，

444→

当且仅当|BC|＝2时等号成立．

2

2

2

9．①④

解析 当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|

＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的； 当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；

当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；

当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|

＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的． 综上，结论一定正确的是①④. 10．解 (1)由题意得|a|＝x＋m， |b|＝(m＋1)x＋x.

因为|a|＜|b|，所以|a|＜|b|， 从而x＋m＜(m＋1)x＋x. 因为m＞0，所以(解得x＜－

)＜x，

m＋1

2

2

22

22

2

2

22

2

2

2

2

m22

或x＞. m＋1m＋1

mm即x的取值范围是 (－∞，－)∪(，＋∞)． m＋1m＋1

2

mm(2)a·b＝(m＋1)x－mx.

由题意，得(m＋1)x－mx＞1－m对任意的实数x恒成立，即(m＋1)x－mx＋m－1＞0对任意的实数x恒成立．

当m＋1＝0，即m＝－1时，显然不成立，所以

m＋1＞0，

2m－m＋

2

2

m－＜0，

m＞－1，

解得2323

m＞或m＜－ ，33

23所以m＞.

3

23

即m的取值范围是(，＋∞)．

3