……高二下学期期末考试
…○数学试题（理科)
… …一、选择题：(本题共10个小题，每小题5分，共60分） …1．设= （ ）
…
（A)
（B）
（C）
(D）
题 …2．下列等于1的积分是（ ) … …
A． B．
C． D．
：…3。用数学归纳法证明:1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是（ ） 级答班…A。 B。 C. D。 … 4。 若，则等于（ ）
… （A) （B） （C) (D）
… 要 5。 函数在点处的导数是 （ ）
… (A） （B） （C) （ D） … 6。 已知随机变量服从正态分布,则( )
… (A) 0.16 （B） 0.32 (C) 0。68 (D) 0。84
… ：不7. 某校共有7个车位,现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻,则不同（ ）
名…的停放方法共有
姓…（A） 种 （B）种 （C）种
(D）种
… 8。 若幂函数的图象经过点,则它在点处的切线方程为（ ） … （A） （B) （C） （ D）
内 9. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象可能是（ ） … …10. 设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式
… 的解集是（ ）
… (A）（，）∪（,)
（B） （，）∪(，）
：线号…（C）（，）∪（,）
（D） （，）∪（，）
证11.某小区有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么
考…不同的停放方法的种数为（ ） 准……
A．16种
B．18种
C．24种 D．32种 封12. 设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ ） …Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
…二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分） ……13. 若,其中、，是虚数单位，则_________. 密14. 函数的单调增区间为_________________。 ……15。 定积分的值等于_________________。
…16。 若内一点满足，则。类比以上推理过程可得如下命题:若四面体内一点满足， 则 。 …三、解答题：（本题共6个小题，共74分) ○17。 （本题共12分）
……一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件,在下述情况下，分别求直至取得正品…时所需次数X的概率分布列。（1）每次取出的产品不再放回去(2)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回
…
高二数学试题（理） 第1页，共4页
到这批产品中. 18．（本题共12分）
已知展开式中的系数为11,求：(1）的系数的最小值；（2)当系数取最小值时，求展开式中的奇数次幂项的系数之和.
19．(本题共12分）
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时,输出结果是；②输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以3n—5，再除以3n+1。
（1） 求f（2），f(3），f(4)；（2） 试由（1)推测f（n）（其中）的表达式，并给出证明。 20. (本题共12分）
已知函数.(Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线,证明：。
21.（本题共12分）
据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时,在匀速行驶时每小时的耗油量(升）与行驶速度(千米∕时）之间有如下函数关系：。已知甲、乙两地相距100千米.（I）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升？ 22. （本题共14分）
已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3． (1)求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值； （3）当时，证明．
参考答案（理)
一、选择题:CCAAD ACBAD CB 二、填空题：
13。 14. 15． （99.5% ) 16.
三解答题
17。解:（1）由题意,X的可能取值为1,2，3，4，其中
， ， ，
所以X的概率分布为 X 1 2 3 4 P ………………6分
（2） 由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
， ， ， 。
所以X的概率分布为 X 1 2 3 4 P ………………12分
18．解：（1），所以………………2分
高二数学试题（理）第2页，共4页
………………4分
当时有最小值；………………5分 （2）由（1)，所以 从而，………………8分 ，………………10分
所以，即奇数次幂项的系数之和为………………12分 19.解：由题设条件知f（1)= ，=， ； ;
。 ………………………………3分 (2）猜想：（其中）……………………5分 以下用数学归纳法证明: （1） 当时，，
所以此时猜想成立。 ………………………………6分 （2） 假设时，成立 那么时, ……………9分
所以时,猜想成立。 由（1）（2)知,猜想：（其中）成立。
…………………………12分
20解：（1）求函数的导数：。曲线在点处的切线方程为:，即。……………4分 （2）如果有一条切线过点，则存在t,使。
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根。记，则。当变化时，的变化情况如下表： 0 ＋ 0 － 0 ＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根; 当时，解方程得，,即方程只有两个相异的实数根; 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根。
综上，如果过可作曲线的三条切线，即有三个相异的实数根，
则即。
…………………………12分
21。（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时）,
需蚝油（升）.
所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油升…4分.
（II)当汽车的行驶速度为千米∕时时,从甲地到乙地需行驶小时。设耗油量为升，依题意,得 其中,。………………………………………………………… 7分
.
令 ，得 。
高二数学试题（理）第3页，共4页
因为当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以当时，取得最小值. 所以当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，
最少为升。……………………………………………………………… 12分
22.解：（1）因为,所以．……………………………1分
因为函数的图像在点处的切线斜率为3， 所以，即．
所以．…………………………………………………………………………………2分 （2）解:由（1）知,，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．………………………3分 令，
则，……………………………………………………………………4分 令, 则,
所以函数在上单调递增．……………………………………………5分 因为，
所以方程在上存在唯一实根,且满足． 当，即，当，即，………………6分 所以函数在上单调递减,在上单调递增． 所以
．…………………7分 所以．
故整数的最大值是3．…………………………………………………………………8分（3)证明1：由（2）知，是上的增函数，……………………9分
所以当时，．……………………………………………………10分 即． 整理，得
．………………………………………11分 因为， 所以．……………………………12分 即．
即．…………………………………………………………13分 所以
．………………………………………………………………………14分 证明2：构造函数
,………………………………………9分
则．………………………………………………10分 因为，所以．
所以函数在上单调递增．………………………………11分
因为, 所以． 所以 ．…12分 即． 即．
即．……………………………………………………………13分 所以．………………………………………………………………14分
高二数学试题（理）第4页，共4页
…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…………
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