朝阳区2021届第一学期期中质量检测高三数学试卷

数学试卷

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

2020.11

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A{x|xx20}，B{1,0,1,2,3}，则A（A）{1,0,1}（B）{1,0,1,2}（C）{0,1,2}2B（D）{0,1,2,3}（2）已知x(0,)，sin(23x)，则sin2x25（B）

（A）

12251324251，则3（C）1225（D）2425（3）已知a2，blog2，clog1213（A）abc（B）acb（C）cab（D）cba（4）如图，在△ABC中，D是BC的中点．若ABa，ADb，则AC（A）3a2b（C）a+2b（B）a2b（D）

11ab22（5）“lnalnb”是“3a3b”的

（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

高三数学试卷 第1页（共6页）

（6）已知函数f(x)31的图象与直线y1的相邻两个交点间的距离等于，sinxcosx（0）

22则f(x)的图象的一条对称轴是

（A）x12（B）x12（C）x3（D）x3（7）在△ABC中，AB4，AC3，且ABACABAC，则BCCA（A）12（B）9（C）9（D）12x（8）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x(,0]时，f(x)231，则f(log2)23（D）

（A）

13（B）1（C）

76116x1,7xe2,2（9）已知函数f(x)若存在实数m，使得f(m)2a4a成立，则实数a的取值2lnx,exe.范围是（A）[1,)（C）[1,3]（10）已知奇函数f(x)的定义域为(（B）(,1][3,)（D）(,3],)，且f(x)是f(x)的导函数．若对任意x(,0)，都有222f(x)cosxf(x)sinx0，则满足f()2cosf()的的取值范围是

3（A）(,)23,)33（B）(,)(,)2332（C）(（D） (,)32高三数学试卷 第2页（共6页）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知向量a(3,1)，b(t,2)，若a//b，则实数t________．

（12）已知x0，y0，xy1，则x4y的最小值为________，此时x的值为________．

（13）在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y（mg/m3）随时间t（h）变化的规律

1at,0t,2可表示为y（a0），如图所示，则a________；

11,t2at实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m3时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入．

（14）设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和．能说明“若d0，则数列{Sn}为递增数列”是

假命题的一组a1和d的值为________．

（15）公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编

制了有关三角比率的表格．后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式

sin221cos．如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点B在以线段AC为直2径的圆O上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AEAB，点

F为EC的中点．设OAr，DOC．给出下列四个结论：

①CD2rsin；②AB2rsin ；2③CFr(1cos )；

④CD22r2(1cos )．

其中，正确结论的序号是________．

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3

分。

高三数学试卷 第3页（共6页）

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）

已知函数f(x)sinx3cosx．（Ⅰ）求f()及f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若x[,33]，求f(x)的值域．22（17）（本小题13分）

已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，a1b21，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．．．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．

条件①：a2a410；条件②：b2b44；条件③：b4a5．

高三数学试卷 第4页（共6页）

（18）（本小题14分）

在△ABC中，AB2，AC3．（Ⅰ）若B60，

（ⅰ）求BC；

（ⅱ）设D是边BC上一点，且ADC120，求sinC；（Ⅱ）若AE是△ABC的内角平分线，求AE的取值范围．

（19）（本小题15分）

已知函数f(x)xalnx（aR）.（Ⅰ）当a1时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）若不等式f(x)12xax对任意x0恒成立，求a的取值范围．2高三数学试卷 第5页（共6页）

（20）（本小题15分）

已知函数f(x)acosxb（a，bR）．x2（Ⅰ）当a1，b0时，判断函数f(x)在区间(0,)内的单调性；（Ⅱ）已知曲线f(x)acosx6b在点(,f())处的切线方程为yx2．

2x2 （ⅰ）求f(x)的解析式； （ⅱ）判断方程f(x)=31在区间(0,2]上解的个数，并说明理由．2（21）（本小题15分）

已知数列{an}是无穷数列，其前n项和为Sn．若对任意的正整数m2，存在正整数k,l（1kl）使得Smakal，则称数列{an}是“S数列”．（Ⅰ）若an2n（n1,2,），判断数列{an}是否是“S数列”，并说明理由；

n（Ⅱ）设无穷数列{an}的前n项和Snq（n1,2,），且q2，证明数列{an}不是“S数列”；

）

{bn}和{cn}，证明：对任意的无穷等差数列{an}，存在两个“S数列”使得anbncn（n1,2,（Ⅲ）

成立．

高三数学试卷 第6页（共6页）