【学习目标】
1.理解对数的概念,能够进行指数式与对数式的互化; 2.了解常用对数与自然对数的意义;
3.能够熟练地运用对数的运算性质进行计算;
4.了解换底公式及其推论,能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明. 5.能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用. 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念
如果abNa0,且a1,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
要点诠释:
对数式logaN=b中各字母的取值范围是:a>0 且a1, N>0, bR.
2.对数logaNa0,且a1具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即N0; (2)1的对数为0,即loga10; (3)底的对数等于1,即logaa1.
3.两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数,log10N简记作lgN.以e(e是一个无理数,e2.7182)为底的对数叫做自然对数, logeN简记作lnN.
4.对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则
已知logaM,logaNa0且a1,M、N0
(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和;
logaMNlogaMlogaN
推广:logaN1N2NklogaN1logaN2logaNkN1、N2、、Nk0
(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数;
logaMlogaMlogaN N(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数;
logaMlogaM
要点诠释:
(1)利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然log2(-3)(-5)是存在的,但log2
(-3)与log2(-5)是不存在的.
(2)不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是错误的:
loga(MN)=logaMlogaN, loga(M·N)=logaM·logaN,
loga
MlogaM. NlogaN要点三、对数公式 1.对数恒等式:
logNaaN
logaNb2.换底公式
同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a≠1, M>0的前提下有: (1)logaMlogn
令 logaM=b, 则有a=M, (ab)=Mn,即(a)M, 即blogabNab
nMn(nR)
nbnan即:logaMlognMn. Mn,
a则有
ab=M, 则有
(2)logaMlogcM(c0,c1),令
logcalogaM=b,
logcablogcM(c0,c1)
即blogcalogcM, 即blogcMlogcM(c0,c1) ,即logaMlogcalogca当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由
(2)还可以得到一个重要的结论:
logab1(a0,a1,b0,b1).
logba【典型例题】
类型一、对数的概念
例1.求下列各式中x的取值范围:
(1)log2(x5);(2)log(x1)(x2);(3)log(x1)(x1). 【答案】(1)x5;(2)x1,且x2;(3)x1且x0,x1 【解析】(1)由题意x50,x5,即为所求.
2x20,(2)由题意
x10,且x11,x2,x1,且x2. 即x1,且x2,(x1)20,(3)由题意
x10,且x11,解得x1且x0,x1.
【总结升华】在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大于零且不等于1.
举一反三:
【变式1】函数ylog2x1(x2)的定义域为 .
【答案】x|x1且x1 2类型二、指数式与对数式互化及其应用
例2.将下列指数式与对数式互化:
(1)log2164;(2)log1273;(3)log3311(4)5125;(5)2;(6)9. x3;
23321【解析】运用对数的定义进行互化.
1(1)216;(2)(3)327;
3433x;log51253;(4)(5)log21log192.(6) 1;
23【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决
问题的重要手段.
举一反三:
【变式1】求下列各式中x的值: (1)log16x【答案】(1)
12 (2)logx86 (3)lg1000=x (4)-2lnex 21;(2)2;(3)3;(4)-4. 412【解析】将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x. (1)x(16)(4)212416612()241161; 4126(2)x8,所以x(x)(8)(2)2(3)10x=1000=103,于是x=3;
1362;
xx222(4)由2lnex,得lne,即ee 所以x4.
22【高清课堂:对数及对数运算369068例1】
【变式2】计算:log24;log28;log232并比较.
2【解析】log24log222;
3 log28log223; 5 log232log225.
类型三、利用对数恒等式化简求值 例3.不用计算器计算:
log327lg25lg47log72(9.8)0
【答案】
13 232【解析】原式log33lg(254)21
3lg1023 2313 23
22
【总结升华】对数恒等式a值为真数.
举一反三:
logaNN中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其
【变式1】求aabc的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0) 【答案】N
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.
logablogbcalogablogbclogcN(a)logcNlogblogclogN(blogbc)logcNclogcNN.
类型四、积、商、幂的对数
【高清课堂:对数及对数运算369068 例3】 例4. 用logax,logay,logaz表示下列各式
x2yxyx35 (1)loga ;(2)loga(xy);(3)loga;(4)loga3zyzzxylogaxlogaylogaz; z3535(2)loga(xy)logaxlogay3logax5logay;
【解析】(1)loga(3)loga(4)logax1logaxloga(yz)logaxlogaylogaz; yz2x2y3z=loga(xy)loga2311z2logaxlogaylogaz.
23【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径,因此我们
必须准确地把握它们.在运用对数的运算性质时,一要注意真数必须大于零;二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算.
举一反三:
【变式1】求值
(1)2log5253log2648log101 (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 【答案】(1)22;(2)1;(3)2. 【解析】(1)2log5253log2648log101
2log5523log22680418022.
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 类型五、换底公式的运用
b例5.已知log189a,185,求log3645.
【答案】【解析】 解法一:
ab 2alog189a,18b5,log185b,
于是log3645log1845log18(95)log189log185abab. 18log1836log18(182)1log1822a1log189log189a,18b5,log185b,
log1845log18(95)log189log185ab. 于是log3645182log18362log1818log1892alog189b解法三:log189a,185,lg9alg18,lg5blg18,
lg45lg(95)lg9lg5alg18blg18ablog3645.
182lg362lg18lg92lg18alg182alg9a解法四:log189a,189.
解法二:
又185,4559181818xab令log3645x,则364518,
bbaab.
1818x182xab)18,()18ab, 即36(339182xlog18ab.
9ababx.
log18182log1892ax【总结升华】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数,进一步应用对数运算的性质.
(2)题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化,将它们统一成一种形式. (3)解决这类问题要注意隐含条件“logaa1”的灵活运用.
举一反三:
【变式1】求值:(1)(log43log83)(log32log92);(2)log89log2732;(3)91log352.
5103;(2);(3). 4925【解析】(1)(log43log83)(log32log92)
【答案】(1)
(;
logloglogloglog3log5353232232323)(lo3g2)(2)(lo3g2)log3log223log4log8log9232624223lg9lg322lg35lg210; lg8lg273lg23lg39(2)log89log2732(3)法一:91log3521log352312(log35)21231log3253log33253 25法二:991log925299log9253. 25类型六、对数运算法则的应用 例6.(2016春 陕西期中)计算
16354(1)()4log3log3
81457lg7lg18 33(3)log2(log232log1log436)
4(2)lg142lg2(4)33log3251log52
【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可. 【答案】(1)
27;(2)0;(3)3;(4)44. 8)1635424(354272744log30【解析】(1)()log3log3()
814534588(2)原式=lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32) =lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20 (3)原式=log2(5log(4)3
举一反三:
【变式1】计算下列各式的值 (1)lg523log3222133log262)log2(5log2log26)log283
24451log52333log32515log522725244.
22lg8lg5lg20lg2;(2)(lg2)33lg2lg5(lg5)3. 322【答案】(1)3;(2)1.
【解析】(1)原式=2lg52lg2lg5(2lg2lg5)lg2=2lg10(lg5lg2)=2+1=3;
2222(2)原式=lg2lg5lg2lg2lg5(lg5)+3lg2lg5=lg22lg2lg5(lg5)
=lg2lg51.
21,x(1,0)【变式2】已知f(x)4x,则f(log43) .
4x,x(0,1)【思路点拨】判断出0log431,根据分段函数的式子求解,再利用对数运算求解. 【答案】3
1,x(1,0)【解析】∵f(x)4x,
4x,x(0,1)0log431
∴f(log43)4故答案为:3
log433,
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