如果n个正数a1,a2,…,an的算术平均和几何平均分别是An= 和Gn= a1a2…an,那么 Gn≤An。其中等号成立的充要条件是a1=a2=…=an。 证法1:数学归纳法
n=1时,a1=a1,不等式成立。
n=2时,由 = +a1a2≥a1a2即 ≥ a1a2,不等式显然成立。 假设n=k(k≥2,k∈N)时不等式成立,则当n=k+1时, 从而 Ak+1≥a1a2…ak·ak+1·Ak+1, 化简,得Ak+1≥ a1a2…akak+1。
当且仅当a1=a2=…=ak=ak+1=Ak+1时,不等式取等号。 证法2:逐步调整法
对于n个正数a1,a2,…,an有A(a)≥G(a) ① 其中A(a)= ,G(a)= a1a2…an。
证明:不妨设a1≤a2≤…≤an,若a1=a2=…=an,则①取等号。若ai(i=1,2,…,n)不全相等,则a1
于是,A(b)=A(a),G(b)>G(a),且bi(i=1,2,…,n)中至少有一个b=A(a)。
若b2,b3,…,bn这(n-1)个数都相等,显然命题成立。否则仍不妨设b2≤b3≤…≤bn,b2<bn。 再令C1=b1 =A(a)=A(b),C2=A(b),Cn=(b2+bn)-A(b),Ck=bk(k=3,4,…,n-1)。 又可得A(c)=A(b),G(c)>G(b),且Ci(i=1,2,…,n)中至少有二个A(b)。
这样的调整至多重复(n-1)次,最终必将出现新数组中各正数均相等。假定第s次时新数组中各数相等,那么A(a)=A(b) =A(c)=…=A(s),G(a)<G(b)<G(c)…<G(s)。同时A(s)=G(s),所以,A(a)>G(a)。
从上述证明过程知,当且仅当a1=a2=…=an时取等号。
每次仅对多变数中两个变数实行简单调整,经过有限次重复施行,而毋须繁复的推理、计算,也毋须较高深的理论。相比之下,在这个问题的各种证明中,这一应用局部调整法给出的证明当属漂亮的一个。 证法3:排序不等式法
令x1= ,x2= ,…,xn= =1, y1= ,y2= ,…,yn= 。
由于数组x1,x2,…,xn和数组y1,y2,…,yn中对应的数互为倒数,由排序不等式,得x1y1+x2y2+…+xnyn≤x1yn+x2yn-1+…+xny1,即n≤ + +…+ 。
从而An≤Gn,等号当且仅当x1=x2=…=xn、y1=y2=…=yn时成立,而这两者都可得到a1=a2=…=an。 证法4:凸函数法
由lgx的上凸性质,得 = ≤lg ,即(a1·a2…an) ≤ 。
(1)由An≥Gn得 + +…+ ≥n = , 即Gn≥ =Hn。
(2)Qn≥An等价于n(a12+a22+…+an2)-(a1+a2+…+an)2≥0。
而上式左边=(a1-a2)2+(a1-a3)2+…+(a1-an)2+(a2-a3)2+…+(a2-an)2+…+(an-1-an)2≥0。
当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。
综上得Hn≤Gn≤An,等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。 证法5:积分法
证明几何——算术平均不等式Gn≤An。
证明:不妨设0<a1≤a2≤…≤an,显然a1≤Gn≤an,存在1<k<n(k∈N)使得ak≤Gn≤ak+1。 -1= [∑ -n] = [ln +∑ -n] (添加零项ln =ln1=0)
因每个积分非负,所以和非负,即 -1≥0,Gn≤An。
当且仅当每个积分为零,即ai=Gn进而a1=a2=…=an时,Gn=An。 证法6:概率法
证明:若a1,a2,…,an为n个正数, 则 ≤ a1a2…an≤ ≤ 。
证明:设随机变量ζ的概率分布为P(ζ=ai)= (i=1,2,…,n)。
由(Eζ)2≤Eζ2得 ≤ 。又因为E(lnζ) ≤ln(Eζ),所以 ∑lnai≤ln∑ , 即 a1a2…an≤ 。 再令随机变量η的概率分布为p(η= )= (i=1,2,…,n),由E(lnη)≤ln(Eη)得 ∑ln ≤ln( ∑ ),即 ≤ a1a2…an。 综上所述, ≤ a1a2…an≤ ≤ 。
点评:因为函数y=lnx是上凸函数,所以其函数值的平均数小于或等于自变量平均数的函数值。将数学期望理解成随机变量取值的平均数,便可得E(lnζ)≤ln(Eζ)当且仅当ζ的取值为(0,+∞)中的某个常数时等号成立。
类似可证明该命题的推广形式:如果ai>0,pi∈[0,1],i=1,2,…,n,∑pi=1,那么 ≤∏piai≤ ∑piai2。
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