高考数学中与初中数学相关的知识点

高考数学中与初中数学相关的知识点

宁海中学数学组

一、 一元二次方程

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

22

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

2

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： (1)x1,22

2

bb24acb；(2)x1x2，2aax1x2c. a5．当ax+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题：

bc2

(以下等价关系要求会用公式 x1x2，x1x2；Δ=b-4ac 分析，不要求背记)

aab（1）两根互为相反数  = 0且Δ≥0  b = 0且Δ≥0；

ac（2）两根互为倒数  =1且Δ≥0  a = c且Δ≥0；

ac（3）两根异号  ＜0  a、c异号；

a6．几个常见转化：

22222(1)x1x22(x1x2)2x1x2；(x1x2)(x1x2)4x1x2；x12(x)2；2xx

11或x2(x)22；xx21(xx)2(xx)24xx(x1x2)121212x1x2；22(x1x2)(x1x2)(x1x2)4x1x2(2)x1x21.分类为x1x22和x1x22 ； 222.两边平方为（xx）412x14x14(1)分类为和16x23x23(或2) ；

9x2(2)两边平方一般不用,因为增加次数.2x1(3)x14x23(4)如x1sinA,x2sinB且AB90时,由公式sin2Acos2A1,cosAsinB2可推出x1x221.注意隐含条件:x10,x20.

(5)x1,x2若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形,面积等式,公式)推导出含有x1,x2的关系式.注意隐含条件:x10,x20.

(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某

些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.

二、 解三角形

全等三角形的识别（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记（边边边或SSS）(2) 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这个三角形全等。简记为（边角边SAS） （3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（角边角ASA） （4）如果两个三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。简记为（HL）

1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么

B对a对bsinA=； cosA=； 斜c斜cc对atanA=；

邻baCbA2．余角三角函数关系 ------ “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：

sinA=cosB； cosA=sinB； 3. 同角三角函数关系：

sinA cosA4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦函数随角的

增大，函数值反而减小.

5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直

角三角函数

值，要熟练记忆它们.

∠A 0° 30° 45°6090°

sinA+cosA =1； tanA=

2

2

°sinA cosA tanA 0 1 0 A1 2322 22 21 3 21 2 1 0 60° KCA 2K30° 3KB不存在 33 36. 函数值的取值范围： 在0° 90°时.

K2K 45° 正弦函数值范围：0 1； 余弦函数值范围: 1 0； BC K 正切函数值范围：0 无穷大；

7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.

8. 关于直角三角形的两个公式： Rt△ABC中: 若∠C=90°,

abcc；Rmc.r:内切圆半径，R:外接圆半径，mc:斜边上中线. 229．坡度： i = 1:m = h/l = tanα； 坡角: α. rhi=1:mal

10. 方位角： 北北偏西30

东

南偏东70

11．仰角与俯角：

仰角铅垂线 水平线俯角

12．解斜三角形：已知“SAS” “SSS” “ASA” “AAS” 条件的任意三角形都可以经过“斜化

直”求出其余的边和角.

13．解符合“SSA”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：（1）∠A≥90°，图形唯一可解； （2） ∠A＜90°，∠A的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A＜90°，∠A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解. 14．解三角形的基本思路： （1）“斜化直，一般化特殊” ------- 加辅助线的依据； （2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想； （3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.

三、 四边形

1．一般性质（角）

⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360° 2．特殊四边形

(1)平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 (2)判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→菱形——→正方形 (3)对角线的作用： 3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）

4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2 ；②三角形、梯形的中位线定理 ；③平行线

间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结

顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。 6．作图：任意等分线段。

四、 相似形

一、相似三角形的判定和性质 （比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 注意：①定理中“对应”二字的含义; ②平行→相似（比例线段）→平行。 二、相似三角形性质

1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。

五、函数及其图象

一 函数基本概念

1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量. 2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.

2 2

3. 函数的确定：对于 y=kx(k≠0), 如x是自变量，这个函数是二次函数；如x是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.

y4.平面直角坐标系：

-- ++ +（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M（x,y），x叫横坐标，y叫纵坐标； x_ _o（2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图： + -（3） x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0; 即“x轴上的点纵为0，y轴上的点横为0”；

反之也

成立；

（4）象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征:

x=y <=> M在一三象限角平分线上； x=-y <=> M在二四象限角平分线上. （5）对称两点M(x1,y1), N(x2,y2) 的坐标特征：

关于y轴对称的两点 <=> 横相反，纵相同；

y关于x轴对称的两点 <=> 纵相反，横相同；

P关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反. xMoN5.坐标系中常用的距离几个公式 -------“点求距”

Q（1）如图，轴上两点M、N之间的距离：MN=|x1-x2|=x大-x小 , PQ=|y1-y2|=y大-y小 . （2）如图， 象限上的点M（x,y）:

y到y轴距离：dy=|x|； 到x轴距离: dx=|y|；

到原点的距离：rxy.

（3）如图，轴上的点M（0,y）、N（x,0）到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|.

（4）如图，平面上任意两点M（x2,y2）、N（x2,y2）之间的距离： d22xroM(x,y)yM(0,y)xN(x,0)oM(x,y)yxoCN(x,y)(x1x2)2(y1y2)2.

6. 几个直线方程 :

y轴 <=> 直线 x=0 ； x 轴 <=> 直线 y=0 ； 与y轴平行，距离为∣a∣的直线 <=> 直线 x=a； 与x轴平行，距离为∣b∣的直线 <=> 直线 y=b.

x=aayboy=bx二、二次函数

1. 二次函数的一般形式：y=ax+bx+c.(a≠0)

2

2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.

222

3. y=ax (a≠0)的特性：当y=ax+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax (a≠0);这个

二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：

2

（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax (a≠0)可以经过补0看做二次函数的一

2

般式，顶点式和双根式，即： y=ax+0x+0, y=a(x-0)+0, y=a(x-0)(x-0).

2

4. 二次函数y=ax+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式：

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5. 二次函数y=ax+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系： (1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；

(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；

c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；

(3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；

b=0 <=> 对称轴是y轴；

(4) Δ＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点；

Δ=0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）； Δ＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.

2

6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.

2

8．二次函数的顶点式： y=a(x-h)+k (a≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），

对称轴方程 x=h 和函数的最值 y

最值

2

= k.

9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x0,y0）和图象上的另一点的坐标，可设解析

2

式为y=a(x -x0)+ y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）

10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；

2

y=a(x-h)+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下： k值增大 <=> 图象向上平移； k值减小 <=> 图象向下平移； （x-h）值增大 <=> 图象向左平移； (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.

11. 二次函数的零点式：(即两点式) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)；由双根式直接可得二次函数图

象与x轴的交点（x1,0）,（x2,0）.

12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x轴的交点坐标（x1,0），（x2,0）和图象上的另一

点的坐标，可设解析式为y= a(x-x1)(x-x2)，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）

13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知

点的对称点，这个对称点也一定在图象上.

三、反比例函数

k或ykx1(k0);图象叫双曲线. x-1

2. 关于反比例函数图象的性质： 反比例函数y=kx中自变量x不能取0, 故函数图象与y轴无交点; 函数值y也不会是0, 故图象与x轴也不相交. 3. 反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系： 1. 反比例函数的一般形式：yk>0 k<0

4. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式y=kx, 代入这一点可求k 值，从而求出解析式.

-1

图象过一三象限，图象下坡. 图象过二四象限，图象上坡.四、二次函数与一元二次方程的关系：

（1）如二次函数y=ax+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交，函数值y=0，此时, 二次

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函数转化为一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数y=ax+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）；

（2）当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二

次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.

2

（3）如二次函数y=ax+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点 C(0,c),也有关系式: OC=|c|.

2

五、二元二次方程组解的判断：

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：

Δ＞0 <=> 方程组有两个解； Δ=0 <=>方程组有一个解；Δ＜0 <=>方程组无实解.

六、 圆

几何基本概念：

一 基本概念： 圆的有关概念：（1）、确定一个圆的要素是圆心和半径。 （2）连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆周的圆弧叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。 直角三角形内切圆半径r满足：abc2r。 二 定理：

1．不在一直线上的三个点确定一个圆.

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.

OAB

三 公式：

1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=

nR2

；（3）圆的面积S=πR. 180nR21LR；（4）扇形面积S扇形 =（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图） 36022.圆柱与圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)

1（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =LR. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）

2四 常识：

1． 圆是轴对称和中心对称图形.

2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.

3． 三角形的外心  两边中垂线的交点  三角形的外接圆的圆心；

三角形的内心  两内角平分线的交点  三角形的内切圆的圆心;

( 三角形的重心  两中线的交点  顶点到重心的距离=重心到对边中点距离的两倍; 三角形的垂心  两高线的交点顶点与垂心的连线垂直于对边. ) 4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）

直线与圆相交  d＜r ； 直线与圆相切  d=r ； 直线与圆相离  d＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）

两圆外离  d＞R+r； 两圆外切  d=R+r； 两圆相交  R-r＜d＜R+r； 两圆内切  d=R-r； 两圆内含  d＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

关于几何圆的基本图形 1.垂径定理及推论: 几何表达式举例： 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， ∵ CD过圆心 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. ∵CD⊥AB C平分优弧∴ AE=BEAC=BCAD=BDOEADB过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. AOCDB几何表达式举例： ∵ AB∥CD ∴ AC=BD3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； A“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. C BEOFD几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) 几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=1∠AOB 2

（3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是C) 直角三角形.(如图CA DABO OB BCA（1） （2）（3） （4） 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. CB A D∴ „„„„„ （2） ∵ AB是直径 ∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90° ∴ AB是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC是RtΔ 几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理. O（1）经过半径的外端并且垂直于这条 C半径的直线是圆的切线； A（2）圆的切线垂直于经过切点的半径； （3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. APBEB是半径垂直是切线几何表达式举例： （1） ∵OC是半径 ∵OC⊥AB ∴AB是切线 （2） ∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC⊥AB （3） „„„„„ 几何表达式举例： ∵ PA、PB是切线 ∴ PA=PB ∵PO过圆心 ∴∠APO =∠BPO 几何表达式举例： （1）∵BD是切线，BC是弦 ∴∠CBD =∠CAB （2） ∵ EF=AB∵ ED，BC是切线 ∴ ∠CBA =∠DEF O8．弦切角定理及其推论: （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； （2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（如图） （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） DA FCE A DBC（1） （2B） 9．相交弦定理及其推论: 几何表达式举例： （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （1） ∵PA²PB=PC²PD

（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. DC AP BBAC（1） （2） OP10．切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； （2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. BB A A DPPC1） C（2） （11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. A AO1O2 O1O2B（1） （2） 12．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径RN ， 边心距rn ， 边长an ，内角n ， 边数n； （2）有关计算在RtΔAOC中进行. OD∴„„„ （2） ∵AB是直径 ∵PC⊥AB 2∴PC=PA²PB 几何表达式举例： （1） ∵PC是切线， PB是割线 2∴PC=PA²PB （2） ∵PB、PD是割线 ∴PA²PB=PC²PD 几何表达式举例： （1） ∵O1，O2是圆心 ∴O1O2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切 ∴O1 、A、O2三点一线 公式举例： n RnAErnanCBn 360； n180(2) n 2n(1) n =