2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 项是符合题目要求的．
12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一
1．下列命题是真命题的为
1 1．若 则 x y A ,
．若 B
2
x y
x
则 x 1
1 ,
(
)
C．若 x y ,则 x y
D．若 x y ,则 x
2
y
2
【测量目标】真假命题的判断 . 【考查方式】简单的逻辑推理，若条件推导结论成立则命题正确 【参考答案】 A 【试题解析】由
.
1
x
1 得 x y , 而由 xy
故选 A.
2
1 得 x
1 ,由 x
y , x , y 不一定有意义
,而
x y 得不到 x
2
yx2
2
2．函数 y
3x 4 x
的定义域为
（
）
A ． [ 4,1] B ． [ 4, 0)
C． (0,1]
D． [ 4, 0)
(0,1]
【测量目标】复合函数的定义域.
【考查方式】根据复合函数分母大于 【参考答案】 D 【试题解析】由
0，根号内值大于等于 0 求出定义域 .
x
0
2
x 3x
≥
4 0
得
4≤ x
0 或 0 x≤1,故选 D.
3． 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A ．50
30 名，参
（ ）
B ． 45
C． 40
D ．35
【测量目标】随机事件与概率 . 【考查方式】根据（总体 【参考答案】 B 【试题解析】 4．函数 f (x) A ． 2π
两项都参加的学生人数 =只参加一项学生人数）得到结果.
仅参加了一项活动的学生人数 =50 (30+25 50)=45, 故选 B.
(1
3 tan x)cos x 的最小正周期为
（
）
B．
3π
C． π
D．
π
2
2
【测量目标】三角函数的恒等变换与周期性 .
--
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【考查方式】利用三角恒等变换求出三角函数最简式，根据最简式求出最小正周期
.
【参考答案】 A 【试题解析】由
f ( x) (1
3 tan x)cos x cos x
3 sin x 2sin( x
π6
) 可得最小正周期
为 2π,故选 A. 5．已知函数
f (x) 是 ( , ) 上的偶函数，若对于 x≥0 ，都有 f ( x
2） f (x) ，且当
（
x [0, 2)时， f ( x) log 2 ( x
A ． 2
B． 1
1），则 f (
2008) f (2009) 的值为
C． 1
）
D． 2
【测量目标】函数奇偶性的综合运用. 【参考答案】 C 【试题解析】
【考查方式】根据给出的函数关系，利用偶函数的性质进行求解
..
f ( 2008)
nf (2009)
nf (0)
f (1) log 2 1 log 2 2 1 ,故选 C.
122
6．若 Cn x Cn x
C n x 能被 7 整除，则 x, n 的值可能为
B ． x 4, n 4
（
D ． x 6, n 5
）
A ． x 4, n 3
【测量目标】二项式定理 . 【参考答案】 C
【试题解析】 Cn x Cn1C． x 5, n 4
【考查方式】把二项式展开式化为二项式，然后把选项中的值代入逐个排除得到答案
.
2 x
2
Cn x4
nn
(1 x)
n
1,
当 x 5, n 4 时 , (1 x)
n
1 6
1 35 37 能被 7 整除 , 故选 C.
7.设 F1 和 F2 为双曲线
x
2
y
2
2
2
1 ( a 0, b
0 )的两个焦点 , 若 F1， F2 ，P(0,2 b) 是正三角形
a
3 2
b
的三个顶点 ,则双曲线的离心率为
A ．
（
）
B ． 2
C．
5
D ．3
2
【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】根据上顶点、原点、 【参考答案】 B 【试题解析】由 tan
F1 或 F2 构成的三角形内角求出离心率 .
π6
8．公差不为零的等差数列 于
有 3c 4b 4(c a ) ,则 e c 2 ,故选 B. c
2b 3 a { an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项 , S8 32 ,则 S10 等
3
2222
（
）
A. 18 B. 24 C.
【测量目标】等差数列的通项、等比数列的性质 60
.
D. 90
--
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【考查方式】根据等差数列通项将等比数列转化求出 【参考答案】 C 【试题解析】由 a4再由 S8
{ an } 通项公式，进而求出结果 .
2
a3a7 得 (a1 3d )d 32 得 2a1
2
( a1 2d )( a1 6d ) 得 2a1 3d 0 （步骤 1）
2, a1
8a1
56 2
7d 8 则 d
3 （步骤 2）
（步骤 3）
所以 S10 10 a1
90 d 2
60 .故选 C
9．如图，在四面体 A. AC C. AC
ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误 的为（
．．
）
BD BD
B.
AC ∥截面 PQMN
D. 异面直线 PM 与 BD 所成的角为
45
【测量目标】直线与直线之间、直线与平面之间的位置关系 .
.
【考查方式】根据给出的空间几何体判断线线、线面之间的位置关系
【参考答案】 C
【试题解析】 由 PQ ∥ AC ，QM ∥ BD ， PQ ⊥ QM 可得 AC ⊥ BD ，故 A 正确 （步骤
由 PQ ∥ AC 可得 AC ∥截面 PQMN ，故 B 正确 异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 综上 C 是错误的，故选 C.
1）
（步骤 2））
PM 与 PN 所成的角，故 D 正确 （步骤 3）
（步骤 4）
10．甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （
A ．
4
）
1 6
B．
1 4
C．
1 3
D．
1 2
【测量目标】排列组合及其应用. 【参考答案】 D
【考查方式】利用排列组合计算出分组的总数、甲乙相遇的情况得到结果
.
【试题解析】所有可能的比赛分组情况共有4
C4 C222
12 种，甲乙相遇的分组情况恰好有
6
2!
种，故选 D.
11．如图所示，一质点 P( x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 点 Q ( x,0) 的运动速度 V V (t ) 的图象大致为（ ）
x 轴上的投影
--
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A
B
C
D .
【测量目标】函数图象的应用 . 【参考答案】 B
【考查方式】结合函数图象理解，利用排除法排除不符合图象变化的选项得到结果
【试题解析】由图可知，当质点
P( x, y) 在两个封闭曲线上运动时，投影点
0，到正，故 A 错误
Q (x,0) 的速度先
由正到 0、到负数，再到 （步骤 1）
质点 P( x, y) 在终点的速度是由大到小接近
0，故 D 错误 （步骤 2）
质点 P( x, y) 在开始时沿直线运动，故投影点 错误的 故选 B
（步骤 3） （步骤 4）
Q ( x,0) 的速度为常数，因此
C 是
12．若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y
x 和 y ax
32
A ． 1或 -
25
B ． 1或
21
C．
15 x 9 都相切，则 a等于 4
7 或 - 25
D．
7
4
或 7
64
4
.
4 64
【测量目标】导数的几何意义
【考查方式】先根据直线与曲线相切、已知点坐标求出切线方程，然后根据相切条件求出 【参考答案】 A 【试题解析】
3
a .
设过 (1,0) 的直线与 y 所以切线方程为 即 y
x 相切于点 (x0 , x0
3
3)
y
x00
3x0 ( x x0 ) .（步骤 1）
2
3x
2 0
x
2x 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x
当 x0
0 时，由 y 0 与 y ax
2
15
4
0
0 或 x0
3
2 25 64
（步骤 2）
x 9 相切可得 a
（步骤 3）
--
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当 x0
3 时，由 y 2 27 x 4 27 与 y 4
ax215 x 9 相切可得 a
4
1，所以选 A. 步骤 4
二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .请把答案填在答题卡上 13．已知向量 a
(3,1) ， b (1,3) ， c
.
(k, 2) ，若 ( a c) b 则 k =
．
【测量目标】向量的线性运算 【参考答案】 0 【试题解析】因为
【考查方式】给出向量之间的垂直关系，利用向量垂直的性质求出
k .
a c (3 k, 1) , (a c) b,∴ (3 k) 1 ( 1) 3 0 .所以 k 0 .
14．体积为 8 的一个正方体，其表面积与球 【测量目标】正方体与球的面积、体积公式.
径，然后求出球的体积 .
【参考答案】
O 的表面积相等，则球 O 的体积等于
．
【考查方式】先根据正方体体积求出正方体表面积，根据正方体、球表面积相等求出球的半
8
6π π
【试题解析】设球的半径为
3
R ，依题设有 6(
3
3
8) 2
4πR ，则 R22
2
6 ，球的体积为 π
4
πR
4 3
π
6
8 6π
3
15
．若不等式
π π
4 x ≤k( x
2
1)
a, b
的解集为区间
，且 b
a 1
, k
则
．
【测量目标】直线与圆的位置关系.
【考查方式】画出图形，然后根据不等式条件求出 【参考答案】
k 值 .
3 2
【试题解析】由数形结合
半 圆 y
4
x 在 直 线 y k( x 1) 之 下 必 须 x2 2, x1
2
1 ， 则 直 线 y k( x 1) 过 点
(1, 3，) 则 k
3
2
--
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16．设直线系 M : x cos ( y 2)sin 1(0 ≤ ≤2π) ,对于下列四个命题：
A ．存在一个圆与所有直线相交 B．存在一个圆与所有直线不相交 C．存在一个圆与所有直线相切
D． M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是
（写出所有真命题的代号） ．
【测量目标】参数方程、直线与圆的位置关系. 【参考答案】 ABC 【试题解析】因为
【考查方式】利用点到直线距离判断直线与圆的位置关系
.
x cos
( y 2)sin1 所以点 P(0, 2) 到 M 中每条直线的距离
d
1
cos
2
sin
2
2
1
（步骤 1）
即 M 为圆 C : x
( y 2)
2
1的全体切线组成的集合
（步骤 2）
所以存在圆心在 (0, 2) ,半径大于 1 的圆与 M 中所有直线相交 , 的圆与 M 中所有直线均不相交 故 ABC 正确
也存在圆心在 (0, 2) ,半径小于 1
, 也存在圆心在 (0, 2) ,半径等于 1 的圆与 M 中所有直线相切 ,
（步骤 3） ABC
（步骤 4）
又因为 M 中的边能组成两个大小不同的正三角形 故命题中正确的序号是 三 .解答题：本大题共
3
,故 D 错误 ,
6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分 12 分） 设函数 f ( x)
x
9 x2 2
6x a ．
（ 1）对于任意实数 （ 2）若方程 f ( x)
x ， f ( x)≥ m 恒成立，求 m 的最大值；
0 有且仅有一个实根，求
a 的取值范围 .
【测量目标】函数最值问题和零点问题.
【考查方式】先求出导函数，然后把不等式组转化为一边为
结合函数图象分类讨论求出
【试题解析】解： (1)
因为 x ( 所以
0，当
≤ 0 时可求得 m 值；
a 的范围 .
2
f ( x) 3x
,
2
9x 6 3( x 1)(x
2) .
（步骤 1）
) , f (x)≥ m , 即 3x
9x (6
3 4
m)≥0 恒成立 .
（步骤 2）
3）
81 12(6 m)≤0 , 得 m≤
，即 m 的最大值为
3 4
. （步骤
(2) 因为 当 x 1时, f (x) 0 ;当 1 x 2时 , f (x) 0 ;当 x 2 时, f ( x) 0
步骤 4
--
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所以 当 x 1 时 , f (x) 取极大值
f (1)
5 2
a （步骤 5）
（步骤 6）
当 x 2 时 , f ( x) 取极小值 f (2) 故当 f (2)
2 a
0 或 f (1) 0 时 , 方程 f ( x) 0 仅有一个实根 . 解得 a
2 或 a
5 2
.（步骤 7）
18．（本小题满分 12 分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进
行评审．假设评审结果为 “支持 ”或 “不支持 ”的概率都是 1 .若某人获得两个 “支持 ”，则给予 10
2
“支持 ”，则给予 5 万元的资助；若未获得 “支持 ”，则不予资
万元的创业资助；若只获得一个 助．求：
(1) 该公司的资助总额为零的概率；
（ 2）该公司的资助总额超过
15 万元的概率．
.
【测量目标】相互独立事件与概率
【考查方式】根据总额为 0， 6 次都是不支持求出概率 .
【试题解析】解： （ 1）设 A 表示资助总额为零这个事件，则
P( A)
1 2
6
1
64
6
（2）设 B 表示资助总额超过
15 万元这个事件，则
6
P( B) 15
1
6
1
1 2
6
11
2
2
32
19．（本小题满分 12 分）
在 △ ABC 中， A, B, C 所对的边分别为
a,b,c ， A
π 6
， (1
3)c 2b ．
（1）求 C ；
（2）若 CB CA 1
3 ，求 a , b c ．
【测量目标】利用正弦定理解决有关角度问题.
【考查方式】利用正弦定理边之间比值等于正弦比值求出结果；给出关于向量的等式，
根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式然后求出
【试题解析】解： （ 1）由 (1
a , b c ．
（步骤
3) c
2b 得
b
sin(π C)
则有
π
sin
5π
6
c
cosC cos sin C
5π
1 2 sin C
3 sin B 2 sin C
=
1）
6
6
1 2
cot C
3 2
1 2
3
sin C
2
--
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得 cot C 1
即 C
π 4
.
（步骤 2）
（ 2） 由 CB CA
1
3
推出 abcosC
1
3 ；而 C
π 4
,
2
2
即得
ab
1 3
（步骤 3）
2
ab 1
3
则有
2 (1
a
3)c 2b
c sin C
解得
a b c
2 1 3 2
（步骤 4）
sin A
20．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥
P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ， PA AD 4 ，
AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 （ 1）求证：平面 ABM ⊥平面 PCD ； （ 2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角； （ 3）求点 O 到平面 ABM 的距离．
PD 于点 M ．
【测量目标】空间立体几何中线线、线面、面面之间的位置关系
.
【考查方式】利用线线垂直得到线面垂直然后得到面面垂直；
利用 PC 射影求出所求角正切值，然后求出所求角； 利用法向量和点到面距离公式求出距离
【试题解析】解：
（ 1）证：依题设， M 在以 BD 为直径的球面上，则
因为 PA ⊥平面 ABCD ，则 PA ⊥ AB ，又 AB 所以 AB ⊥平面 PAD ，则 AB
.
BM AD
PD . （步骤 1）
（步骤 2）
PD
（步骤 3）
因此有 PD ⊥平面 ABM ，所以平面 ABM ⊥平面 PCD
（步骤 4）
（ 2 ） 设 平 面
ABM 与 PC
C D
交 于 点
N ， 因 为 A B
C D， 所 以 AB 平 面 P C D ， 则
AB
MN
（步骤 5）
由（1）知，PD ⊥平面 ABM ，则 MN 是 PN 在平面
ABM 上的射影，所以
P N M就
是
PC
与平面 ABM 所成的角
（步骤 6）
--
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且
PNM
PCD tan
tan PNM
PCD
PD DC
2 2
所求角为 arctan2 2 .
（步骤 7）
（ 3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，
由（ 1）知， PD ⊥平面 ABM 于 M ，则 DM 就是 D 点到平面 ABM 距离 . 因为在 Rt △ PAD 中， PA 点到平面 ABM 的距离等于
（步骤 8）
AD 4 ， PD AM ，所以 M 为 PD 中点， DM
2 2 ，则 O
2 .
（步骤 9）
方法二：
（ 1）同方法一；
（ 2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) ， P(0,0,4) ， B(2,0,0) ， C (2,4,0) ，
D (0,4,0) ， M (0,2,2) ， AB
设平面 ABM 的一个法向量 n
(2,0,0), AM (0,2,2), PC
(x, y, z) ，由 n
(2,4, 4) . （步骤 10）
2x 0
AB, n AM 可得：
(步骤 11)
2y 2z
，则 sin
0
令 z
1，则 y
1，即 n (0,1, 1) .设所求角为
PC n PC n
2 2 ，
3
所求角的大小为
arcsin 2
2 . (步骤 12)
3
（ 3）设所求距离为 h ，由 O(1,2,0), AO
(1,2,0) ，得： h
AO n n
2
( 步骤 13)
21．（本小题满分 12 分）
2
2 数列 { an } 的通项 an n (cos
nπ3
sin
2
nπ3
) ，其前 n 项和为 Sn .
S3n nn4
(1) 求 Sn ; (2) bn
, 求数列｛ bn ｝的前 n 项和 Tn .
.
【测量目标】通项公式的基本运算、求和公式的推导、二倍角公式
【考查方式】把所给公式转化为最简项，然后逐个推导求出
Sn ；
--
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利用错位相减法求出
2 nπ
Tn .
sin
【试题解析】 (1) 由于 cos
2 nπ
cos
2nπ3
,故
3 3
S
3k
(a1 a2
2
a3 ) (a4 a5 a6 )
2
(a3k 2
a
3k 1
a3k )
(3k 1)2
( 1
22 2
2
3 )
( 4
2
5
2
6 )
2( (3k
2)
2
2
(3k) )
2
2
13 31 2
18k 5 k(9k
4)
3k
S
3k 1
SSa
2 k (4 9k)
2
(步骤 1)
3 k
2
S
3k 2
a
3 k 1
3k 1
k(4 9k)
(3k 1)
2
1 2
3k
k
2 1 3
2
2 2
6 (步骤 2)
n 1 , 3 6
n
3k
故
Sn
(n 1)(1 3n) , n 3k 1 6
4) n(3n , n 3k
6 S3 n
( k N ) (步骤 3)
*
(2) bn
9n 2 4
4
n
Tn
n 4 1 13 22
[ 2 2 4 4
n
9n
4Tn
1
4 n] 4
[13 22 2 4
9n n 1 4] (步骤 4) 4
两式相减得
1
3T
n
[13 9 2 4
9
4
3n 2
2n 1
9n 4 ] 4
1
9 9
n
2 n 1
[13 4 4n
2 1 1
4
9n 4] 8 1
n
4 22 n 3
9n
2
2 n 1
故 Tn
8
1
2 n 3
. (步骤 5)
3 3 2
22．（本小题满分 14 分）
如图，已知圆 G : (x
2)
y2
r 2 是椭圆 x2
y
2
1的内接 △ ABC 的内切圆 , 其中 A 为椭
16
圆的左顶点 .
（ 1）求圆 G 的半径 r
;
（ 2）过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E， F 两点 .
--
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证明：直线 EF 与圆 G 相切．
【测量目标】圆的切线方程、椭圆与三角形内切圆的标准方程 【考查方式】利用条件列出方程然后求出半径；
.
根据相切列出方程组然后求解 .
解 : （ 1）设
【试题解析】
（2 r , y0）
B
，过圆心
G
GD AB D , BC
于
作 交
长轴于 H
由 GD
HB 得 AH
y0
AD
r
2
36 r r
y0 6 r
(1)
r 6
即
2
（步骤 1）
6 r
（2 r, y0）
而点 B
, y01
(2 r )
2
12 4r r
2
( r 2)( r 6)
16
(2)
在椭圆上
16
12 0 ,解得 r
16
2
（步骤 ）
由 (1)、 (2)式得 15r
2
8r
2 或 r 3 6 （舍去） 5
(3)
(2) 设过点 M (0,1) 与圆 (x 2)
2
: y 1 kx
y24 相切的直线方程为
（步骤 3）
则
2
9
2k 1
2
,即 32k
2
36k 5 0
(4)
3
解得 k1
1 k 9
41
16
,k2
9
41
16
（步骤 4）
将 (3)代入
x2
y 2
1得 (16k
2
1)x
2
32kx 0 ,则异于零的解为 x
16
32k （步骤 5）
2
16k 1
设 F ( x1 , k1x1
1), E(x2 , k2 x2 1)，则 x1
32k1 16k1
2
, x2
32k2 16 k2
2
1 1
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则直线 FE 的斜率为：
k
EF
k2 x2 k1 x1
x2 x1
232k1
k1 k2 1 16k1k2
3 4
（步骤 6）
31 1
4
于是直线 FE 的方程为 : y
(x
16k1 2
（步骤 7）
32k1 )
2
16k1 1
即 y
3 x 7 4 3
则圆心 (2,0)
故结论成立 .
到直线 FE 的距离 d
（步骤 9）
3 7
2 3 2
1
9 3
16
--
8）
（步骤
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