陕西省西安市经开区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. 𝑥2−𝑦−2=0 C. 2𝑥−3=3𝑥−2
2. 如图所示的几何体的左视图是( )
B. 2𝑥2−𝑥=5 D. 𝑥2=1
1
A.
B.
C.
D.
3. 若关于x的一元二次方程(𝑘−1)𝑥2+4𝑥+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. 𝑘<5
C. 𝑘≤5，且𝑘≠1
B. 𝑘>5
D. 𝑘<5，且𝑘≠1
AC于点D，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐸.若𝐴𝐷=2，𝐷𝐵=4，4. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别交AB，
则𝐴𝐶的值为( )
𝐴𝐸
A. 2
1
B. 3
1
C. 4
1
D. 6
1
5. 关于x一元二次方程𝑥2−5𝑥+𝑝2−2𝑝+5=0的一个根为1，则𝑝= ( )
A. 4 B. 0或2 C. 1 D. −1
6. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐵𝐷𝐸都是等边三角形，点D在边AC上(不与A，
C重合)，DE与AB相交于点F，则图中有( )对相似三角形．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，
则下列结论错误的是( )
A. 𝐸𝐹=𝐷𝑂
C. 四边形EOFA是菱形
B. 𝐸𝐹⊥𝐴𝑂
D. 四边形EBOF是菱形
8. 如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中，D、E分别是AB、BC上的点，且𝐷𝐸// 𝐴𝐶，若
，则𝑆𝛥𝐵𝐷𝐸：𝑆𝛥𝐴𝐷𝐶= ( )
A. 1:16 B. 1:18 C. 1:20 D. 1:24
E、F分别为DC、DA边上的点，∠𝐸𝐵𝐹=45°，9. 如图，在正方形ABCD中，
若𝐸𝐹=5，𝐶𝐸=2，则正方形ABCD的边长为( )
A. 8 B. 6 C. 3√3 D. 4√2
10. 已知如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，E是斜边AB的中点，D是线段
AC延长线上的一点，连结DB、DE，DE与BC交于点𝐺.给出下列结论： ①若𝐴𝐷=𝐵𝐷，则𝐴𝐶⋅𝐴𝐷=𝐴𝐸⋅𝐴𝐵； ②若𝐴𝐵=𝐵𝐷，则𝐷𝐺=2𝐺𝐸； ③若𝐶𝐷=𝐵𝐸，则∠𝐴=2∠𝐴𝐷𝐸． 其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 已知3=𝑦，则𝑥𝑦=______．
𝑥
2
12. 某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦⋅青春
梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
13. 已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且𝐴𝑃>𝐵𝑃，那么
报幕员应走__________米报幕(结果保留根号)．
14. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段
时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______条．
15. 如图是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建宽度相
等，且每段小道均为平行四边形的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为532𝑚2，设小道进出口的宽度为x米，则所列方程为_____________．
16. 如图，O为矩形ABCD的对角线AC，BD的交点，𝐴𝐵=6，M，N
是直线BC上的动点，且𝑀𝑁=2，则𝑂𝑀+𝑂𝑁的最小值是_____．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分） 17. (1)𝑥2+10𝑥+9=0．
(2)𝑥2−3𝑥+1=0．
18. 如图，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标为𝐴(0,−2)、𝐵(3,−1)、𝐶(2,1)．
(1)在网格图中，画出△𝐴𝐵𝐶以点B为位似中心放大到2倍后的△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)写出𝐴1、𝐶1的坐标．
19. 已知关于x的方程𝑥2−2𝑥+𝑚−2=0有两个实数根𝑥1，𝑥2．
(1)求m的取值范围；
(2)求3𝑥1+3𝑥2−𝑥1𝑥2的最小值．
设计了一种促销活动：在四等分的转盘上依次标有“0元”，“10元”，20. 某商场为了吸引顾客，
“30元”，“50元”字样，购物每满300元可以转动转盘2次，转盘停下后，顾客可以获得指
针所指区域相应金额的购物券(指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次)，一个顾客刚好消费300元，并参加促销活动，转了2次转盘． (1)求出该顾客可能落得购物券的最高金额和最低金额；
(2)请用列表法或画树状图法求出该顾客获购物金额不低于50元的概率．
21. 如图，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐶𝐺，AD：𝐴𝐵=1：3，𝐴𝐸=3．
(1)求EC的值；
(2)求证：𝐴𝐷⋅𝐴𝐺=𝐴𝐹⋅𝐴𝐵．
22. 大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建
筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范(如图①).小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的
末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长𝐶𝐸=2米，𝐶𝐷=2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得𝐶𝑀=0.6米，小风的眼睛到地面的距离𝐻𝑀=1.5米，𝐹𝐺=2米．
如图②，已知𝐴𝐵⊥𝐵𝑀，𝐶𝐷⊥𝐵𝑀，𝐹𝐺⊥𝐵𝑀，𝐻𝑀⊥𝐵𝑀，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点𝐸.连
接BD，EC：
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠𝐴=50°，则当∠𝐵𝑂𝐷=______°时，四边形BECD是矩形；
单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量𝑝(件)与每件的销售价𝑥(元24. 某商店购进一种商品，
)满足关系：𝑝=100−2𝑥.若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，25. 如图，
过点F作𝐹𝐺//𝐶𝐷，交AE于点G，连接DG．
(1)求证：四边形DEFG为菱形; (2)若𝐶𝐷=8，𝐶𝐹=4，求𝐷𝐸的值．
𝐶𝐸
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：A、𝑥2−𝑦−2=0有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、2𝑥2−𝑥=5符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故符合题意；
C、2𝑥−3=3𝑥−2未知数的次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D、
1𝑥2
=1不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意；
故选B．
根据一元二次方程的定义判断即可．
此题考查一元二次方程的定义，关键是根据一元二次方程的定义判断．
2.答案：B
解析：解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形． 故选：B．
根据左视图即从左边观察所得图形．
本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义．
3.答案：D
解析：
本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根的判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到𝑘−1≠0且△=42−4(𝑘−1)×1>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得𝑘−1≠0且△=42−4(𝑘−1)×1>0， 解得：𝑘<5，且𝑘≠1． 故选D．
4.答案：B
解析：解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵=2+4=3． 故选：B．
首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．
𝐴𝐸
𝐴𝐷
2
1
5.答案：C
解析：
本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是得出关于p的一元二次方程． 把1代入𝑥2−5𝑥+𝑝2−2𝑝+5=0可得关于p的一元二次方程，求解即可． 解：把1代入方程𝑥2−5𝑥+𝑝2−2𝑝+5=0，得 1−5+𝑝2−2𝑝+5=0，
化简得𝑝2−2𝑝+1=0，即(𝑝−1)2=0， 解得𝑝=1． 故选C．
6.答案：D
解析：
本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论．
只要求写出相似的三角形，不必写出求证过程，根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的3个角分别相等，可推出△𝐴𝐵𝐶∽△𝐸𝐷𝐵，根据对应角相等推出△𝐵𝐷𝐶∽△𝐸𝐹𝐵∽△𝐴𝐹𝐷.△𝐵𝐷𝐹∽△𝐵𝐴𝐷 △𝐵𝐷𝐶∽△𝐸𝐹𝐵，△𝐵𝐷𝐶∽△𝐴𝐹𝐷，△𝐵𝐷𝐶∽△𝐴𝐹𝐷，△𝐵𝐷𝐹∽△解：图中的相似三角形是△𝐴𝐵𝐶∽△𝐸𝐷𝐵，𝐵𝐴𝐷 故选D．
7.答案：D
解析：
根据三角形的中位线定理和菱形的性质进行解答即可．
本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理和菱形的性质是关键． 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴𝐵𝑂=𝑂𝐷，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∵𝐸、F分别是边AB、AD的中点， ∴2𝐸𝐹=𝐵𝐷=𝐵𝑂+𝑂𝐷，𝐸𝐹//𝐵𝐷， ∴𝐸𝐹=𝐷𝑂，𝐸𝐹⊥𝐴𝑂，故A、B均正确． ∵𝐸是AB的中点，O是BD的中点， ∴2𝐸𝑂=𝐴𝐷，
同理可得：2𝐹𝑂=𝐴𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，
∴𝐴𝐸=𝑂𝐸=𝑂𝐹=𝐴𝐹，
∴四边形EOFA是菱形，故C正确． ∵𝐴𝐵≠𝐵𝐷，
∴四边形EBOF是平行四边形，不是菱形，故D错误，符合题意． 故选D．
8.答案：C
解析：
设△𝐵𝐷𝐸的面积为a，表示出△𝐶𝐷𝐸的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出𝐶𝐸，然后求出△𝐷𝐵𝐸和△𝐴𝐵𝐶相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△𝐴𝐵𝐶的面积，然后表示出△𝐴𝐶𝐷的面积，再求出比值即可． 解：∵𝑆△𝐵𝐷𝐸：𝑆△𝐶𝐷𝐸=1：4，
𝐵𝐸
∴设△𝐵𝐷𝐸的面积为a，则△𝐶𝐷𝐸的面积为4a， ∵△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐷𝐸的点D到BC的距离相等， ∴
𝐵𝐸𝐶𝐸=1
4
， ∴𝐵𝐸
1
𝐵𝐶=5， ∵𝐷𝐸//𝐴𝐶， ∴△𝐷𝐵𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴𝑆△𝐷𝐵𝐸：𝑆△𝐴𝐵𝐶=1：25， ∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=25𝑎−𝑎−4𝑎=20𝑎， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸：𝑆△𝐴𝐶𝐷=𝑎：20𝑎=1：20． 故选：C．
9.答案：B
解析：解：∵在正方形ABCD中，𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐷=∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=90°，
延长FA到G，使𝐴𝐺=𝐶𝐸， 则∠𝐺𝐴𝐵=∠𝐹𝐴𝐵=90°， ∴∠𝐶=∠𝐺𝐴𝐵=90°，
𝐶𝐸=𝐴𝐺
在△𝐵𝐶𝐸与△𝐵𝐴𝐺中，{∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐺，
𝐵𝐶=𝐴𝐵∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐵𝐴𝐺(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐺，𝐵𝐸=𝐵𝐺， ∵∠𝐸𝐵𝐹=45°， ∴∠𝐺𝐵𝐹=45°，
𝐵𝐸=𝐵𝐺
在△𝐹𝐵𝐸与△𝐹𝐵𝐺中，{∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐺𝐵𝐹=45°，
𝐵𝐹=𝐵𝐹∴△𝐹𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐺(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐹𝐺=𝐸𝐹=5，
∴𝐴𝐹=3，
设正方形ABCD的边长为x， ∴𝐷𝐸=𝑥−2，𝐷𝐹=𝑥−3， ∴(𝑥−2)2+(𝑥−3)2=52， 解得：𝑥=6，(负值舍去)， ∴正方形ABCD的边长为6， 故选：B．
𝐵𝐸=𝐵𝐺，延长FA到G，使𝐴𝐺=𝐶𝐸，根据全等三角形的性质得到∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐺，由∠𝐸𝐵𝐹=45°，得到∠𝐺𝐵𝐹=45°，证得△𝐹𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐺(𝑆𝐴𝑆)，得到𝐹𝐺=𝐸𝐹=5，求得𝐴𝐹=3，设正方形ABCD的边长为x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
10.答案：D
解析：解：①∵𝐴𝐷=𝐵𝐷，E是斜边AB的中点， ∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，又∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=∠𝐴， ∴△𝐴𝐸𝐷∽△𝐴𝐶𝐵， ∴
𝐴𝐶𝐴𝐸
=
𝐴𝐵𝐴𝐷
，即𝐴𝐶⋅𝐴𝐷=𝐴𝐸⋅𝐴𝐵，①正确；
②∵𝐴𝐵=𝐵𝐷，∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴𝐵𝐶是△𝐴𝐵𝐷的中线，又DE是△𝐴𝐵𝐷的中线， ∴点G是△𝐴𝐵𝐷的重心， ∴𝐷𝐺=2𝐺𝐸，②正确； ③连接CE，
∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，E是斜边AB的中点， ∴𝐸𝐶=𝐸𝐴=𝐸𝐵， ∴∠𝐴=∠𝐸𝐶𝐴，
又𝐶𝐷=𝐵𝐸， ∴𝐶𝐷=𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐸𝐷，
∵∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐶𝐸𝐷=2∠𝐴𝐷𝐸， ∴∠𝐴=2∠𝐴𝐷𝐸，③正确； 故选：D．
根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形的外角的性质计算即可判断．
本题考查的是相似三角形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
11.答案：6
解析：解：∵3=𝑦， ∴𝑥𝑦=6． 故答案为：6．
根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
𝑥
2
12.答案：5
解析：解：画树状图为：
3
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12， ∴恰好选中一男一女的概率是20=5， 故答案为：5．
画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
3
12
3
13.答案：5√5−5
解析： [分析]
根据黄金分割的比值为√[详解]
解：∵点P为AB的黄金分割点，𝐴𝑃>𝐵𝑃， ∴𝐴𝑃=10×
√5−12
5−12
列式计算即可得解．
=5√5−5，
故答案为：5√5−5． [点睛]
考查黄金分割比的应用．
14.答案：20 000
解析：解：1000÷200=20 000(条)． 故答案为：20000．
捕捞200条，其中有标记的鱼有10条，即在样本中有标记的所占比例为200，而在整体中有标记的共有1000条，根据所占比例即可解答． 本题考查的是通过样本去估计总体．
10
10
15.答案：(30−2𝑥)(20−𝑥)=532
解析：
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532𝑚2，找到正确的等量关系并列出方程.根据图形可知剩余的长为(30−2𝑥)𝑚，剩余的宽为(20−𝑥)𝑚，然后根据矩形的面积公式列出方程即可．
解：设小道的宽为x米，依题意得(30−2𝑥)(20−𝑥)=532. 故答案为(30−2𝑥)(20−𝑥)=532．
16.答案：2√10
解析：
本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，平移变换，三角形中位线定理和勾股定理等，属于较难题．
利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性N，Q在同一直线上时，𝑂𝑀+𝑂𝑁的值最小，质，可得当O，等于OQ的长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出𝑂𝑀+𝑂𝑁的最小值． 解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM， 则𝑃𝑀=𝑀𝑂，
将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ， 则四边形MNQP是平行四边形， ∴𝑀𝑁=𝑃𝑄=2，𝑃𝑀=𝑁𝑄=𝑀𝑂， ∴𝑂𝑀+𝑂𝑁=𝑄𝑁+𝑂𝑁，
当O，N，Q在同一直线上时，𝑂𝑀+𝑂𝑁的值最小，等于OQ的长， 连接PO，交BC于E，
由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP， 又∵矩形ABCD中，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴𝐸是BC的中点， ∴𝑂𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝑂𝐸=2𝐴𝐵=3，
1
∴𝑂𝑃=2×3=6， 又∵𝑃𝑄//𝑀𝑁， ∴𝑃𝑄⊥𝑂𝑃，
∴𝑅𝑡△𝑂𝑃𝑄中，𝑂𝑄=√𝑂𝑃2+𝑃𝑄2=√62+22=2√10， ∴𝑂𝑀+𝑂𝑁的最小值是2√10， 故答案为2√10．
17.答案：解：(1)∵𝑥2+10𝑥+9=0，
∴(𝑥+1)(𝑥+9)=0， ∴𝑥=−1或𝑥=−9； (2)∵𝑥2−3𝑥+1=0， ∴𝑥2−3𝑥+=，
44∴(𝑥−2) 2=4，
∴𝑥=
3±√5
2
3
59
5
解析：(1)根据因式分解法即可求出答案； (2)根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18.答案：解：(1)如图所示：△𝐴1𝐵1𝐶1，即为所求；
(2)如图所示：𝐴1(−3,−3)、𝐶1(1,3)．
解析：此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． (1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置； (2)利用所画图形得出对应点坐标．
19.答案：解：(1)根据题意得△=(−2)2−4(𝑚−2)≥0，
解得𝑚≤3；
(2)根据题意得𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=𝑚−2， 3𝑥1+3𝑥2−𝑥1𝑥2=6−(𝑚−2)=−𝑚+8， 而𝑚≤3，
所以当𝑚=3时，3𝑥1+3𝑥2−𝑥1𝑥2的值最小，最小值为−3+8=5．
解析：本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根时，𝑥1+𝑥2=−，𝑥1𝑥2=𝑎.也考查了判别式的意义和一次函数的性质．
𝑎
(1)利用判别式的意义得到△=(−2)2−4(𝑚−2)≥0，然后解关于m的不等式即可；
(2)利用根与系数的关系得到𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=𝑚−2，则3𝑥1+3𝑥2−𝑥1𝑥2=−𝑚+8，然后根据m的范围和一次函数的性质确定3𝑥1+3𝑥2−𝑥1𝑥2的最小值．
𝑏
𝑐
20.答案：(1)最高金额为100元和最低金额0元；(2)2．
解析：[分析]
(1)该顾客可能落得购物券的最高金额为100元和最低金额0元； (2)画出树状图，利用概率公式计算即可． [详解]
解：(1)该顾客可能落得购物券的最高金额为100元和最低金额0元； (2)树状图如图所示：
1
该顾客获购物金额不低于50元的概率=16=2． [点睛]
本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
81
21.答案：(1)解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，
𝐴𝐷
𝐴𝐸
又𝐴𝐵=3，𝐴𝐸=3， ∴
3𝐴𝐶
𝐴𝐷1
=， 3
1
解得𝐴𝐶=9，
∴𝐸𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐸=9−3=6； (2)证明：
∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐶𝐺， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐺， ∴𝐴𝐷⋅𝐴𝐺=𝐴𝐹⋅𝐴𝐵．
𝐴𝐷
𝐴𝐸
𝐴𝐹
解析：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
(1)由平行可得𝐴𝐵=𝐴𝐶，可求得AC，且𝐸𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐸，可求得EC； (2)由平行可知𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐺，可得出结论．
𝐴𝐷
𝐴𝐸
𝐴𝐹
𝐴𝐷
𝐴𝐸
22.答案：解：∵𝐶𝐷⊥𝐵𝑀，𝐹𝐺⊥𝐵𝑀，𝐶𝐸=2，𝐶𝐷=2，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，
过H作𝐻𝑁⊥𝐴𝐵于N，交FG于P，
设𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑥，则𝐻𝑁=𝐵𝑀=𝑥+5.4+0.6=𝑥+6， 𝐴𝑁=𝑥−1.5，𝐹𝑃=0.5，𝑃𝐻=𝐺𝑀=0.6， ∵∠𝐴𝑁𝐻=∠𝐹𝑃𝐻=90°，∠𝐴𝐻𝑁=∠𝐹𝐻𝑃， ∴△𝐴𝑁𝐻∽△𝐹𝑃𝐻， ∴
𝐴𝑁𝑃𝐹
=
𝑁𝐻
，即𝑃𝐻
𝑥−1.50.5
=
𝑥+60.6
，
∴𝑥=39，
∴紫云楼的高AB为39米．
解析：根据已知条件得到𝐴𝐵=𝐵𝐶，过H作𝐻𝑁⊥𝐴𝐵于N，交FG于P，设𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑥，则𝐻𝑁=𝐵𝑀=𝑥+5.4+0.6=𝑥+6，𝐴𝑁=𝑥−1.5，𝐹𝑃=0.5，𝑃𝐻=𝐺𝑀=0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
23.答案：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∴∠𝑂𝐸𝐵=∠𝑂𝐷𝐶， 又∵𝑂为BC的中点， ∴𝐵𝑂=𝐶𝑂，
在△𝐵𝑂𝐸和△𝐶𝑂𝐷中，
∠𝑂𝐸𝐵=∠𝑂𝐷𝐶{∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐷 𝐵𝑂=𝐶𝑂
∴△𝐵𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐷(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑂𝐸=𝑂𝐷，
∴四边形BECD是平行四边形； (2)100．
解析：(1)见答案；
(2)解：若∠𝐴=50°，则当∠𝐵𝑂𝐷=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴=50°， ∵∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐵𝐶𝐷+∠𝑂𝐷𝐶，
∴∠𝑂𝐷𝐶=100°−50°=50°=∠𝐵𝐶𝐷， ∴𝑂𝐶=𝑂𝐷，
∵𝐵𝑂=𝐶𝑂，𝑂𝐷=𝑂𝐸， ∴𝐷𝐸=𝐵𝐶，
∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形； 故答案为：100．
(1)由AAS证明△𝐵𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐷，得出𝑂𝐸=𝑂𝐷，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得出∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴=50°，由三角形的外角性质求出∠𝑂𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷，得出𝑂𝐶=𝑂𝐷，证出𝐷𝐸=𝐵𝐶，即可得出结论．
本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
24.答案：解：设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．
根据题意得：(𝑥−30)(100−2𝑥)=200， 整理得：𝑥2−80𝑥+1600=0， ∴(𝑥−40)2=0， ∴𝑥1=𝑥2=40 ∴𝑝=100−2𝑥=20；
故，每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．
解析：本题的等量关系是每件商品的利润×每天的销售量=每天的总利润．依据这个等量关系可求出商品的售价，然后代入p与x的关系式中求出p的值．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
25.答案：解：(1)证明：如图，由折叠的性质可知𝐷𝐺=𝐹𝐺，𝐸𝐷=𝐸𝐹， ∠1=∠2，
∵𝐹𝐺//𝐶𝐷， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴𝐹𝐺=𝐹𝐸，
∴𝐷𝐺=𝐺𝐹=𝐸𝐹=𝐷𝐸， ∴四边形DEFG为菱形．
(2)设𝐷𝐸=𝑥，则𝐸𝐹=𝐷𝐸=𝑥，𝐸𝐶=8−𝑥，
在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐶中， 𝐹𝐶2+𝐸𝐶2=𝐸𝐹2 ，即42+(8−𝑥)2=𝑥2 ，
解得𝑥=5， ∴𝐶𝐸=8−𝑥=3，
∴𝐷𝐸=5 ．
𝐶𝐸3
解析：此题主要考查；菱形的判定与勾股定理 (1)根据轴对称的性质和菱形的判定求解； (2)利用勾股定理求解
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