第26卷第3期 2013年6月 振 动 工 程 学 报 Journal of Vibration Engineering Vo1.26 No.3 Jun.2013 转动薄壁圆柱壳行波振动响应分析 孙述鹏,曹登庆,初世明 (哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001) 摘要:考虑由转动引起的科氏力、离心惯性力及环向初应力影响,利用Hamilton原理,建立了基于Sanders壳体理 论的转动薄壁圆柱壳振动微分方程。选取满足相应边界条件的轴向梁函数近似地表达各类边界条件下圆柱壳的 轴向振型分布。在此基础上,提出了一种适用于求解各种边界约束的转动薄壁圆柱壳行波振动响应的方法。基于 此方法,分别针对静坐标系下横向简谐力和恒力作用下的两端固支转动薄壁圆柱壳的行波振动响应进行了求解, 并对结果进行了相应分析。 关键词:旋转机械;圆柱壳;行波振动;动力响应;边界条件 中图分类号:TH113.1;0326 文献标识码:A 文章编号:1004-4523(2013)03—0459-08 通过数值求解常微分方程组,进而采用类似模态叠 引 言 转动薄壁圆柱壳在诸多工程机械中应用广泛, 加的方法求得响应。基于此思路,Huang着重分析 和探讨了科氏力对两端简支转动圆柱壳强迫振动的 影响以及简谐移动载荷作用下的转动薄壁圆柱壳体 的共振现象。需要指出的是,Huang的结果,均针 对两端简支边界条件的转动柱壳,而对其他类型的 边界条件并没有提及。两端简支约束的圆柱壳的振 型可以解析地表达为三角函数组合的形式,而对于 如高速离心机、航空发动机高速转动鼓筒等。转动 所带来的科氏力、离心惯性力及环向初应力,使得转 动薄壁圆柱壳具有不同于静态圆柱壳的动力学特 性。具体说来,一方面,离心惯性力使壳体结构产生 环向初应力,导致壳体刚度增加,从而使转动薄壁圆 柱壳频率随转速的升高而增加;另一方面,受转动速 度矢量与变形速度矢量不一致而导致的科氏力的影 响,转动薄壁圆柱壳频率随转速的变化发生分岔,产 生不同频率的前、后行波,区别于静态圆柱壳频率所 对应的驻波(振型)。转动薄壁圆柱壳这种行波振动 其他类型边界条件下圆柱壳的振型,解析表达式的 获取则是困难的,因此有必要发展一种适用于求解 各种类型边界约束的转动薄壁圆柱壳行波振动响应 的方法。国内也有部分学者在转动薄壁圆柱壳振动 响应的求解方面做了一些工作。如李健等应用 Donnell壳体理论ll ,采用复分析的方法研究了转 动薄壁悬臂圆柱壳在法向激励作用下的行波振动。 因作者仅通过在静态薄壁圆柱壳上施加反向转动的 激励来处理转动柱壳受迫振动问题,因此转动所带 来的离心惯性力、科氏力等的影响未能在模型中反 映出来,并且作者采用的Donnell简化壳体理论尽 管形式简单,但因其主要考虑法向弯曲变形,忽略了 平面内两个方向的惯性力,不能准确反映3个方向 的特点,使得传统的求解静态圆柱壳振动响应的方 法不再适用。因此,对转动薄壁圆柱壳行波振动响 应的研究,具有重要的理论意义和应用价值。 国内外众多学者通过解析、数值、实验等手段对 转动薄壁圆柱壳的自由振动问题进行了大量的研究 工作口叫 ,比较之下,对激振力作用下转动薄壁圆 柱壳行波振动响应的研究则相对较少l_】。叫 。在为 数不多的行波振动响应研究中,以Huang的工作最 具代表性口。 。Huang将两端简支圆柱壳行波模 态(travelling mode)代人基于Love—Timoshenko壳 体理论的转动薄壁圆柱壳的振动微分方程中,并利 用三角函数的正交性将方程离散为常微分方程组, 运动的耦合,且对环向波数较小的模态,频率计算并 不准确。 本文考虑由转动引起的科氏力、离心惯性力及 环向初应力影响,利用Hamilton原理,建立了基于 Sanders壳体理论的转动薄壁圆柱壳振动微分方 收稿日期:2011-10—19;修订日期:2013一Ol一10 基金项目:国家自然科学基金资助项目(91216106) 振 动 工 程 学 报 第26卷 程 。选取满足相应边界条件的轴向梁函数来逼 近各类边界条件下的圆柱壳轴向振型分布 。进 而采用Galerkin方法,对振动微分方程进行离散, } ㈣ 得到6自由度陀螺转子系统的动力学方程。然后, 通过叠加各行波模态的响应,得到了任意典型边界 条件下转动薄壁圆柱壳行波振动响应一般解的形 式。最后,分别针对静坐标系下横向简谐力和恒力 作用下的两端固支转动薄壁圆柱壳的行波振动响 应,给出了相应算例,并对结果进行了简要分析。 1 基于Sanders壳体理论的转动薄壁 圆柱壳振动微分方程 考虑长L、厚H、半径为R,并以角速度n绕中 轴转动的各向同性薄壁圆柱壳,该圆柱壳的密度、弹 性模量、泊松比分别为f0,E, 。如图1所示,正交曲 线坐标系(z,0,z)为建立在壳体中曲面上的动坐标 系。相对于该坐标系,壳体中曲面上点的轴向、切 向、法向的变形位移分别为 , ,叫。在壳体中面微 元上,-z,0,z三个方向的单位面积外载荷分量分别 o o q ,q ,q 。 图1 载荷作用下的转动薄壁圆柱壳模型图 Fig.1 Sketch of the geometrical relations of a thin rota— ting cylindrical shell 转动薄壁圆柱壳的动能可表示为 ,一 r厶 r[碗z+。z+曲 +2 ̄2(wo~劬)+ n ( +W )]RdxdO (1) 由环向初应力所引起的初应变能为『1l_ 铷N {(去 oqU)。+ 1(Or -b叫)卜 fl(ow+ ) 胁∞ 式中 N;一|0Hn R。为离心惯性力导致的环向初 应力。 由薄壳振动理论可知,壳体上任一点的应变与 中曲面的薄膜应变分量e ,e ,o甜以及弯曲应变(曲 率变化)分量 , ,r。有关,具体表达形式如下 三a0 0 f5£ ] zI 。J j『= o 1 丽3 3 o 孙 Ra az 。 一筹 a a0 一 R a R a l j (4) 3a 2a 2Raz R8x80 一 一2 {兰}一 {兰} cs Q ===Qz。=z=== ,Q z一 Ql2一 ,G=一万 == 上一王王 1一 \ l , u _ ̄H j22 Jf, 『『[ e + +r瑚e + {--q ,一 ,q ) ,系数 一R (1一 )/EH,算子L』 _第3期 孙述鹏,等:转动薄壁圆柱壳行波振动响应分析 其中,L L1一R。象+ 2( +鲁)导 筹, u(z), (z)和 (z)分别为3个方向上的轴向振 L ̄2=R『1+2/1一 ] 一 + 型分布,其形式与边界条件有关。考虑到除两端简支约束薄壁圆柱壳外,具有其 R ,L 一R 2( + )象+ 他边界条件的圆柱壳轴向振型分布很难用解析式表 旦 示出来,这里利用圆柱壳振型的轴向分布接近于相 c 著 著,L + 一 应边界条件梁振型函数的特性,采用梁函数来逼近 圆柱壳轴向振型函数。一般可设3个方向的振型分 皤…LL一 +尼 。 +杀]+ 布有如下形式口。a一巩 ] 嘉,这里忌一H。/(12R。),y 一P尺 (1一 )/E,下 (z)一d ̄(x)/dx, (z)一 ( ), 2 式中m, 分别为轴向振型的阶数和环向的波数。 一 一 ), 同。算子L 形式如下 r R==: 著 O y。 。R 3 一dZ 。R 7 2y。 昙 dt O 实际工程系统不可避免存在阻尼因素,受阻尼 影响,系统瞬态响应将衰减,进而剩余工程中关心的 稳态响应。通常情况下,阻尼是由试验测定的,这里 假设阻尼为等效粘性阻尼,比例系数为c ,并在建 立的振动方程中引入阻尼项。振动控制方程(10)可 改写为如下形式 {L +L }ll一 q+ {c 疵 c 0 一c 由} (13) 2转动薄壁圆柱壳行波振动响应一般 解 对转动薄壁圆柱壳体自由振动特性的研究表 明[193,转动引起的离心惯性力使壳体产生周向应 力,导致壳体刚度增加,从而使得转动薄壁圆柱壳较 静态圆柱壳频率有所增加;同时,受转动薄壁圆柱壳 变形速度矢量与转动速度矢量方向不同所引起的科 氏力影响,转动薄壁圆柱壳频率随转速变化发生分 岔,产生频率不同的前、后行波。此时的模态已不是 通常意义下的振型(驻波),而是与时间有关的行波。 基于此,将转动薄壁圆柱壳行波振动解的一般形式 设为如下形式: “一∑∑[】7 (t)cosnO一 ( )sinnO]9 ̄(x) m 1 1 一∑∑[ (t)sinn8+ 。(£)cosn0]q);(z) 仇;1 =1 W一m一1 n=1 ∑∑[7 。(t)COsnO一 。(t)sinnO]9:(x) (14) n w(z)一 (z) (15) 式中 一 (z)为相应边界条件下连续梁的振型函数, 一般形式如下 叫 (z)===C1 sin(x)+f2COS(z)+f3 sinh(z)+ C4 cosh(x) (16) 系数C ( ===1,…,4)由边界条件决定。为后面算例 中分析方便,这里给出两端固支连续梁的振型函数, 其他边界条件的梁的振型函数可以参考振动理论的 相关内容。 固支一固支边界条件下,梁的振型函数为 。。 (z)一COS( z/L)一cosh(a z/L)+ rim[sin(A z/L)一sinh(a x/L)] (17) 其中 f 一一cos 一cosh ]/[sin A 一sinh ] lCOS ・cosh ——1===0 (18) 将解的形式(14)代入转动薄壁圆柱壳振动微分 方程(13),并采用Galerkin方法进行离散,对每个 m, 组合的模态可得到一个6自由度系统动力学方 程,写成矩阵形式有 + + (19) … /#H 0 0] J 0 c /pH 0 l, l 0 0 c /p/ ̄j ,K一[K ],( ,J一1,2,3), 462 振 动 工 程 学 报 第26卷 -1[_R2案+( 。卅 + )], 112一 [一 + ] Cm, -t ̄R ]景, 121一 [ny2gYR+ 一 ]鲁, K13 ̄- 1 ~历程,运用式(14)进行叠加,即可得出转动薄壁圆柱 壳上各点的行波振动响应。 值得注意的是,环向波数n一0时,转动圆柱壳 的各阶模态均表现为驻波的形式,而考虑到本文主 要探讨的是转动圆柱壳的行波振动响应的求解方 法,因此在式(14)中没有考虑 一0这一特殊模态。 3数值结果与讨论 一 1[( + )豢+ (kn2 ], 一 [c 鲁~ -=1[/ ̄R一 ]鲁, 一 [( )鲁Cm 卅 K33= [(1+尼 +nzyz 一y n )一 2n zkRz鲁+ c等+愚R4 fjcAi], q1 g0 jQ1 — q0 lQ 』 q q q6 q (z, ,t)COSn ̄ u (z)/Clml q (z,0, )sinnO ( )21 pHn —J。J。 fL f 2 q (z, ,t)COSn ̄ (z)/c dOdx, 一q (z,0,t)sinnO u(z)/c q (z,0,t)COSnO (z)21 一q (z,0,t)sinnO w(z)/c f 一j。L u(z) u( )d山r,Cm 2一J ( ( )) u(z)dx, c 一J ( ( )) (z)dx,c 一j ( ( )) u (z) , 瞄一J L0 v(z) v(x)dx,Cm2 —J oL w(z) v(x)dx, fm 。一j ( ( ))Cm( )出,嵋一J ( (z)) (z)妇, cm25一j ,v (z)) v(z)(ix,c 一j 0L w(z) W(x)dx, cm32一j oL v(z) (x)dx,Cm 3一J ( (z)) (z)dx, c器一』 ( ( )) (x)dx,Cm 一f ( (z)) (z) , c3%一J ( (z))¨ w( )dx。 对方程(19)进行数值积分,可得每个m,n组合 的模态所对应的广义坐标的时间历程。理论上讲, 将各个m,n组合的模态所对应的广义坐标的时间 根据前面给出的方法,针对具有两端固支约束 的转动薄壁圆柱壳模型,进行了计算和分析,算例所 用几何参数及材料常数列于表1。考虑到壳体的面 外弯曲振动是对壳体动力学特性起主导作用的振动 形式,故这里只分析对应于弯曲振动的行波频率特 性,和法向的位移响应W。 表1 几何参数及材料常数 Tab.1 Geometric parameter and material property 长 千任 鼙厚 悍任俣亘 『曼 L/m R/m Him E/(G・Pa)p/(kg・m ) 2 1 0.002 70 2 600 3.1 行波振动频率特性与模型验证 忽略阻尼,则对每个m, 组合的模态所对应的 6自由度系统动力学方程(19)可退化为陀螺转子系 统动力学方程的形式 罡 (20) 因此,求解转动薄壁圆柱壳行波频率的问题,就 转化为求解陀螺系统特征值问题。Meirovitch给出 了求解此类特征值问题的方法 。需要指出,对于 每个m, 组合的模态,有6个频率值,其中频率最 低的两个对应于W方向弯曲振动为主的行波频率。 为验证离散模型的正确性,本文将所求得的行 波频率与由文献[6]中的解析表达式所得结果进行 了比较,两者结果吻合,如表2所示。 图2所示为转速6 000 r/min,轴向振型阶数 一1情况下,动坐标下中行波频率随环向波数的变 化曲线。动坐标系下,后行波频率大于前行波频率, 且前、后行波频率随环向波数的增加均呈现先减小 后增加的趋势,并在环向波数大于9时逐渐重合。 图3所示为轴向振型阶数m一1,环向波数 一3时, 动坐标系中行波频率随转速的变化曲线。如图3所 示,转速为零时,前后行波频率值一致,产生的是驻 波,即传统意义的振型。随着转速的增加,频率发生 第3期 孙述鹏,等:转动薄壁圆柱壳行波振动响应分析 分岔,产生频率不同的前、后行波。前行波频率随转 速升高先有微弱的减小趋势,继而随转速的升高而 增加。而后行波频率随转速的变化,则一直呈现单 调增加的趋势。 表2本文所得行波频率与文献值的比较(转速6 000 r/rain) Tab.2 Comparison of travelling wave frequency between present and litearture study(rotating speed 6 000 r/min】 由文献[6]公式(12)求得 \ 图2行波频率与环向波数的关系曲线 Fig.2 Variation of the frequency parameter with respect tO the circumferential wave number 图3行波频率随转速变化曲线 Fig.3 Variation of the frequency parameter with respect tO rotating speed 3.2 动薄壁圆柱壳的行波振动响应 的两端固 (Z1) 式中 z和0分别为初始时刻激励点轴向和环向坐 标。 为计算和分析方便起见,这里仅取m一1, 一3 所对应的行波模态,并根据式(14)进行叠加。 图4给出了初始时刻z===L/2, 一0位置,受静 坐标系下幅值为F一2 000 N,频率fo一100 Hz简 谐激励作用时,转速 一6 000 r/rain(100 Hz)的两 端固支薄壁圆柱壳32 一L/2,0 一兀/2位置行波振 动响应的时间历程、稳态时间历程、稳态相图及频谱 图。如图4所示,受阻尼的影响,瞬态响应逐渐衰 减,系统响应达到稳态。受转动影响,静坐标系下的 单频激励fo—100 Hz作用下的两端固支圆柱壳的 稳态响应有两个频率成分,即200,400 Hz,分别对 应于392一. , +392。 《0.0 《 O 2 4 6 8 10 9.95 9.96 9.979.98 9.99 10.00 t|S t/S (a)响应时间历程 (b)稳态响应时间历程 (a)Response time history Co)Steady—state time history curves CBrves 200 400 600 800 位移/mm f/Hz (c)稳态相图 (d)稳态频谱图 (c)Steady—state phase diagram (d)Steady—state frequency spectrogram 图4静坐标中横向简谐力作用下(m一1, 一3)组合行 波模态的响应 Fig.4 Response of(m一1, 一3)travelling mode for a rotating cylindrical shell under transverse har— monic loads in the stationary coordinate 小q ̄2标'1 誊 l' -& H 用时,嘉 ”= 6 0 00川r/mi (o10v熹 464 振 动 工 程 学 报 第26卷 图5静坐标系中横向简谐力作用下(m一1, 一3)组合 行波模态响应的幅频曲线 Fig.5 Amplitude—frequency curve of(m一1, 一3)trav— elling mode for a rotating cylindrical shell under transverse harmonic loads in the stationary coot— dinate 置行波振动响应的幅频曲线。由图5中的标示可 知,该系统前、后行波频率分别为f,一294.4 Hz和 db一410.0 Hz。考虑动、静坐标下行波频率关系, 有,}一f,+3n一594.4 Hz,f 一f 一30—110.0 Hz。 o 和-厂 分别为前、后行波共振频率,这与图5 幅频曲线所示峰值频率一致。 综合上面的分析可知,一般地,当静坐标系下横 向简谐力的频率 满足如下条件时,会发生行波共 振, -厂 一f,, +ha2,fo—f , 一ha2 (22) 具有转动薄壁圆柱壳结构的实际工程系统,在工作 时应尽量避开这些共振点。 3.3静坐标系中法向恒力作用下两端固支转动薄 壁圆柱壳的行波振动响应 令fo一0,由式(21)可得,受静坐标下幅值为F 的法向恒力作用的转动薄壁圆柱壳,其所受单位面 积外载荷分量的表达式 fq (z,0, )一0 {q z, , 一。 一 一 lq ( ,0, )一一F/(R・L) (z—z) [ 一( 一 £)] (23) 若( ,0 )表示初始时刻动坐标系中转动薄壁 圆柱壳上一点P,此时该点位于静坐标下的空间点 P。,两点重合。 时刻后,与静坐标下的空间点P。 重合的转动薄壁圆柱壳上点的坐标则可表示为 (z ,0 一n )。由式(14),相应点的位移响应为 叫一∑∑[ 。(f)cosn(O 一 )一 m一1 n一1 1723(t)sinn(0 一 )] (z ) (24) 图6给出了与静止坐标下4个空间点位置重合 的两端固支薄壁圆柱壳上点的行波振动响应时间历 程图。圆柱壳转动速度为 一6 000 r/min(100 Hz),且受静坐标系下幅值为F一2 000 N的法向恒 力作用,初始时刻该恒力作用于z—L/2,0—0。考 虑到该圆柱壳长径比较小,低阶行波模态的轴向振 型阶数聊通常取1,并参照图2给出的行波频率与 环向波数的关系曲线,计算中相应点的位移响应采 用了如下近似表达式 1 10 一∑∑[ 。(t)cosn(O 一gg)一 —l 一1 叩23( )sinn(0 一g]t)] ( ) (25) O. O.O O. 0.4 O. O.8 1. 1_2 -1. —1.6 -2. d嗣 呈 2.0 0 2 4 6 8 10 t/S t/s fa)x'=L/2,口 =O Co)x'=L/2.0’=7r 焉 2.0} . . . . .一2.0} . . . 一一. .一 t/S t/s (c)x'=L/2,0’=z/2 (d) /2,0 =3z/2 图6与静坐标下空间点对应的转动薄壁圆柱壳上相应 点的响应 Fig.6 Response of one point on a rotating cylindrical shell in stationary coordinate 如图6所示,4个空间点所对应的转动薄壁圆 柱壳上点的响应随时间变化逐渐收敛。即,静坐标 系下法向恒力作用下的两端固支转动薄壁圆柱壳, 其形变形状在达到稳态后不随时间而改变,如图7 所示。从波动的观点讲,两端固支转动薄壁圆柱壳, 受静坐标系下法向恒力作用,产生了静坐标系下的 驻波。受此影响,当形变导致的应力水平超过材料 破坏极限,可能产生破坏,此外也可能会给转动薄壁 图7静坐标系下法向恒力作用下的两端固支转动薄壁 圆柱壳的形变 Fig.7 Deformation of a rotating cylindrical shell under point force 第3期 孙述鹏,等:转动薄壁圆柱壳行波振动响应分析 465 圆柱壳带来疲劳加速等问题,这些都是值得进一步 研究的课题。 4 结 论 本文考虑由转动引起的科氏力、离心惯性力及 环向初应力影响,利用Hamilton原理,建立了基于 Sanders壳体理论的转动薄壁圆柱壳振动微分方 程,提出了一种适用于求解各种边界约束的转动薄 壁圆柱壳行波振动响应的方法。基于此方法,分别 针对静坐标系下横向简谐力和恒力作用下的两端固 支转动薄壁圆柱壳的行波振动响应进行了求解和分 析。得到以下结论: (1)通过选取满足相应边界条件的轴向梁函数 来逼近各类边界条件下的圆柱壳轴向振型分布,可 以克服除简支以外的各类边界条件下圆柱壳振型的 解析表达式不易获取的困难。在此基础上发展的方 法,适用于求解各种类型边界约束的转动薄壁圆柱 壳行波振动响应。 (2)两端固支转动薄壁圆柱壳,随着转速的增 加,其频率发生分岔,产生频率不同的前、后行波。 前行波频率随转速升高先有微弱的减小趋势,继而 随转速的升高而增加。而后行波频率随转速的变 化,则一直呈现单调增加的趋势。 (3)当静坐标系下横向简谐力的频率 满足 fo—fs…+72 或fo—fb…一ng2时,两端固支转动 薄壁圆柱壳会发生行波共振,具有转动薄壁圆柱壳 结构的实际工程系统,在工作时应尽量避开这些共 振点。 (4)受静坐标系下法向恒力作用,两端固支转动 薄壁圆柱壳会产生不随时间改变的形变,即静坐标 系下的驻波。受此影响,当形变导致的应力水平超 过材料破坏极限,可能产生破坏,此外也可能会给转 动薄壁圆柱壳带来疲劳加速等问题,这些都是值得 进一步研究的课题。 参考文献: [1] DiTaranto R A,Lessen M.Coriolis acceleration effect on the vibration of a rotating thin-walled circular cylin— der[J].ASME Journal of Applied Mechanics,1964, 31:7O0—7O1. 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Key words:rotating machinery;cylindrical shell;travelling wave vibration;dynamic response;boundary conditions 作者简介:孙述鹏(1986一),男,博士研究生。电话:(0451)86414479;E—mail:shpsun@163.com