第２９卷第３期 ２０１５年５月 山东理工大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａ１ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．３ Ｍａｖ ２Ｏ１５ 文章编号：１６７２—６１９７（２０１５）０３—０００１—０７ 含三个时间分数阶导数的反常 扩散方程求解与微分阶数反演 孙春龙，李功胜 ，贾现正，杜 殿虎 （山东理工大学理学院，山东淄博２５５０４９） 摘 要：对于一类带有三个时间分数阶的一维反常扩散问题，基于Ｃａｐｕｔｏ意义下时间分数阶导数 的离散，给出了一个有限差分求解格式，并利用分离变量法及Ｌａｐｌａｃｅ变换得到该问题的解析解． 进一步应用同伦正则化算法，根据内点处的浓度观测数据对确定微分阶数的反问题进行数值反演， 并讨论时间一空间步长及数据扰动等因素对反演算法的影响． 关键词：时间分数阶导数；含三个时间分数阶的扩散；反问题；同伦正则化算法；数值反演 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标志码：Ａ Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅ－ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｓ ＳＵＮ Ｃｈｕｎ—ｌｏｎｇ，ＬＩ Ｇｏｎｇ—ｓｈｅｎｇ，Ｊ ＩＡ Ｘｉａｎ—ｚｈｅｎｇ，ＤＵ Ｄｉａｎ—ｈｕ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｉｂｏ ２５５０４９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉＳ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ １－Ｄ ｔｈｒｅｅ—ｔｅｒｍ ｔｉｍｅ—ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ａ— ｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｃａｐｕｔｏ＇ｓ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ．Ｕ— ｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｎｄ Ｌａｐｌａｃｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｗａｒｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ ｈｏｍｏｔｏｐｙ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔＯ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅ—ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｓ ｂｙ ｔｈｅ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｒｌｔｓ ａｔ ａｎ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎｓ ａｒｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｔＯ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｅｆｆｅｃｔｉ ｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌ— ｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎｄ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｉｍｅ～ｓｐａｃｅ ｍｅｓｈ ｇｒｉｄｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｄａｔａ ｎｏｉｓｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅ—ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ；ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｈｏｍｏｔｏｐｙ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ 在过去的几十年，分数阶偏微分方程在反常扩散现象模拟等领域开始发挥重要作用，其对复杂系统的描 述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势．陈文案［１ 较详细地描：述了分数阶微积分理论在复杂 力学行为建模和数值模拟方面的研究成果，强调分数阶微积分建模的物理和 Ｉ了学背景和概念．分数阶反常扩 散方程是由经典扩散方程推广而得到的，按照其含有的时间一空间导数的形式可分为三类：分别是时间分数 阶扩散、空间分数阶扩散和空间一时间分数阶扩散．当通常的整数阶扩散方程中关于时间变量的１阶导数换 为ａ（Ｏ＜ａ≤１）时，得到时间分数阶扩散方程；当整数阶扩散方程中关于空间变量的２阶导数换为ａ（Ｏ＜ａ≤ ２）时，得到空间分数阶扩散方程；而当整数阶扩散方程中关于时间与空间变量的整数阶导数都换为相应的分 收稿日期；２０１４—０９—２０ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１０７１１４８，１１３７１２３１）；山东省自然科学基金资助项目（ＺＲ２Ｏｌ１ＡＱ０ｌ４） 作者简介：孙春龙，男，ｓｕｎｃｈｕｎｌｏｎｇ５２７＠１６３．ｃｏｒｎ）通信作者：李功胜，男，ｌｉｇｓ＠ｓｄｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ ２ 山东理工大学学报（自然科学版） 数阶导数时，就得到空间一时间分数阶扩散方程． 对于时间分数阶扩散方程正问题的研究，刘发旺等人做了很多研究．于强与刘发旺［２ 给出了时间分数阶 反应一扩散方程的隐式差分近似；沈淑君与刘发旺［３］推导出了时间分数阶扩散方程初边值问题的数值解，并 提出了方程的显式守恒差分格式，证明了此格式的稳定性和收敛性，然后将得到的结果推广到时间分数阶对 流一扩散方程．刘法旺和Ｍｅｅｒｓｃｈａｅｒｔ［ 等人，给出了含有多个时间分数阶的扩散一波动方程的数值计算方法， 并讨论了隐式差分求解格式．Ｌｕｃｈｋｏｌ５ 与Ｌｉｕ等［６］分别研究了多个时间分数阶的对流一扩散方程，得到了广 义Ｍｉｔｔａｇ—Ｌｅｆｆｌｅｒ函数形式的解析解． 对于分数阶扩散中的反问题研究，已引起了大家的关注．程晋等Ｅ７３研究了一维时间分数阶扩散中由单个 边界点处的连续测量值同时确定微分阶数与空间依赖扩散系数的反问题，应用特征展开方法证明了该反问 题解的唯一性．刘继军和Ｙａｍａｍｏｔｏ＿８］应用准可逆性正则化（ｑｕａｓｉ—ｒｅｖｅｒｓｉｂｉｌｉｔｙ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ）方法探讨了 一个时间分数阶扩散中由终值数据恢复初始状态的倒向反问题．郑光辉与魏婷等［ｇ 。］应用Ｆｏｕｒｉｅｒ谱正则化 方法研究了带状区域一维时间分数阶对流扩散的Ｃａｕｃｈｙ问题与空间Ｒｉｅｓｚ分数阶扩散的倒向反问题． Ｓａｋａｍｏｔｏ与Ｙａｍａｍｏｔｏ＿１ 利用特征分解方法探讨了时间分数阶扩散一波动方程倒向反问题的适定性．徐翔、 程晋与Ｙａｍａｍｏｔｏ等［１ ２－１３］研究了具有１／２阶分数阶导数的时间分数阶扩散方程的Ｃａｒｌｅｍａｎ估计方法，这 是构建分数阶扩散相关反问题条件稳定性的新思路．熊向团等ｒ１ 构建了时间分数阶二维热传导方程的反向 热传导问题的一种条件稳定性，李功胜等［１ 利用最佳摄动量算法对于一维时间分数阶扩散方程的空间依赖 的扩散系数进行了有效的数值反演，魏婷等［１ ］基于边界元离散提出一种正则化方法，研究了一维时间分数 阶扩散方程中时间依赖源项的重建问题． 本文将探讨含有三个时间分数阶导数的一维反常扩散方程求解及确定微分阶数的反演问题．首先利用 有限差分法给出正问题数值求解的差分格式，同时利用分离变量法及拉普拉斯变换得到正问题的解析解表 达式，并且给出正问题的数值算例．进一步，应用同伦正则化算法对反常扩散方程中的三个时问分数阶微分 阶数进行数值反演，给出数值反演算例，并讨论时间空间步长及数据扰动水平等因素对反演算法的影响． １正问题及其数值求解 考虑区域ｎ一（０，Ｚ）×（Ｏ，Ｔ）上含三个时间分数阶导数的一维反常扩散方程 ＋宴 一Ｄ －－－ ㈩ （２） 其中（ｚ，ｆ）∈力；Ｄ＞０是扩散系数，ａ∈（０，１）和口，（ 一１，２）∈（０，１）是时间分数阶导数的微分阶数，且０ ＜ａ ＜ ＜ａ＜１．对于方程（１），给定非零初值条件和第一类零边值条件： ｕ（ｘ，Ｏ）一－厂（ｚ），ｕ（Ｏ，￡）一 （Ｚ， ）一０ 这样，由方程（１）及初边值条件（２）就构成含三个时间分数阶导数的一维反常扩散方程的正问题．下面给出 这个正问题求解的一个有限差分格式，并运用分离变量法推导其解析解的表达式． １．１ 正问题求解的差分格式 设 表示Ｕ在（ ，ｔ ）处的近似值．取空间步长ｈ—ｌ／Ｍ，ｚ 一ｉｈ（ｉ：＝＝１，２，…，Ｍ），时间步长ｒ—Ｔ／Ｎ， 一耵（＂一１，２，…，Ｎ）．方程（１）中 和 是ｃａｐｕｔ。意义下的分数阶导数，分别离散可得 ｃ 一丽１＿ｊ．： ￣．１－ａ —— 一丽ｌ＿塞 ｒ 一 （３） （４） ｒ（２一ａ） Ｌ／ ＿＿、“ｒ 一 一“￣ｒ－ｋ 兰！： ‘：二 ｒ ｏ一及 ｃ ＝＝ 竿对于方程中的整数阶导数项，按照通常的差分离散方法，即有 第３期 ０２ｕ（ ）一孙春龙，等：含三个时间分数阶导数的反常扩散方程求解与微分阶数反演 ／ ３ ｌ 盟 ＋ ２ ＼， ＋ ｚ） （５） ＝＝＝ ＋喜 计 一 Ｄ一ｒ￣Ｆ（２－ａ）翮 （ｃ川 一 。＋ ２ （６） Ｅ（ｋ＋１） 。。 一忌 一 ］）／ ．将式（３）～（５）式代人式（１），整理可获得隐式差分格式 一１．２ 正问题的解析解 本小节利用分离变量法及Ｌａｐｌ一 ａｃｅ变换推导正问题的解析解． 设ｕ（ｘ，￡）：＝＝ｘ（ ）Ｔ（￡），代人方程可得 一 ） ＋ｒ１ ） ∑㈦ 巩 计 ） ｄ Ｔ（ ）．一ＤＸ ｄ ｚ Ｔ（￡） ）Ｔ（ ） （７） ｄ。Ｔ（￡）．整理上式，并令 一 二 一一一 （８） 则方程（１）求解化为两个微分方程的求解问题．首先对于 ｛ 苌 （ ）一ｓｉｎ 。 （９） 可得 １ （婀）ｚ ｚ ＂一１’２，… ＋ｒｚ ＋ Ｔ（ ）一０ （１０） 其次对于 设 （ ， ）一 ＋ｒ Ａ （￡）ｓｉｎ （１１） ，代入式（１１）并联立初始条件可得 ＋ 。 （ １２ ） ，Ｏ）Ｓｉｎ ｄｚ ， ｏ）一 ｆＬ（ ）一 一 ｏ） ｛Ｌ（ ）一 【Ｌ（ ）一 代人（１２）式，可得 Ｐａ 一ｐ一 Ａ （０）＋ｒ Ｐｎ 叫 ｏ） 叫ｚ ｏ） 一ｒ ｐａ１－１Ａ （ｏ）＋，． Ｐ ｚ 一ｒ ｚ 整理可得 一 。） 一 等 一 １＋ｒ １Ｐ“ １＋＋Ｐ ： ＋Ｐ ±！ ～一 Ｐ ｉｒｌ Ｐ ｃ一 （ ）（詈） １ 筹 ＋ ４ 山东理工大学学报（自然科学版） ２０１５正 蠢 薹ｃ一 妻（一 引理ｌ＿ｌ７ （ｍ ｒ…２￣ｒｌ！ （ ）（ ） 筹 ＋ 一 妻ｋ＝０ ｒ２ｐａ２－－ａｌ （１４） 当 （ｓ）＞ｌ ｃ ｌ寺成立时，有Ｌａｐｌａｃｅ逆变换 ｎ！Ｓ 一“ ￡］一 式中 ㈤一 （± ）， ”一０，１，２… ㈤一 』！ ＿，： 一 （ 一 ）！ｒ（ ＋ ） （１５） 为广义Ｍｉｔｔａｇ－－Ｌｅｆｆｌｅｒ函数 （Ｊ—ｎ）！ Ｊ！ 亓 为广义Ｍｈｔａｇ—Ｌｅｆｆｌｅｒ函数的 阶导数・ 由引理１，将ｃ—ＤＡ ，Ａ （０）一导ｆ６ Ｊ ０ “（ ，ｏ） ｉｎ ：＝＝ 一（ ， ）代入式（１２）整理可得 ｃ 耋ｃ ［Ｅ ～ （一ｒｌｔｒ￣１）－￣－ｒｌｔｅ－ａｌ 于是求得解析解为 丽 妻ｋ＝Ｏ × 一 （一ｒｌ ｔａ－ａｚ）］ ＿ｂ２ （－ｒｌｔ￣＂１）ｑ－ｒ２ｔ￣－￣２ （ 一 ￣－］Ａ．（ｔ）ｓｉｎ ＝：：妻ｎ＝ｌ 爱 ×ｓｉｎ ＋ ￡ —ｂｚ× （１６） （Ｊ＋ｍ）！ Ｚ ＿ａ。 （一ｒｌ￡ １） ｌ Ｊ！ ｒ［（ ＋ ）（ａ—ａ１）＋１＋抛ｌ—ｌｅａ ２］ 一∑ 鬲 （－可ｒａｔ＂－ ￣ａ）Ｊ ｒ２ ｔ￣ａ２∑ １．３数值试验 利用上一节的有限差分法进行数值计算，取ｚ一 ，Ｔ一１，且离散点数Ｍ一１００，Ｎ—ｉ００，微分阶数 一 ０．８，ａ 一０．５，０１２—０．３，扩散系数Ｄ一１，系数ｒ ＝＝＝０．５，ｒ 一０．５．另外，取初始函数ｕ（ｘ，０）一，（ｚ）一ｓｉｎｘ． 此时解析解可表示为 一 ｃ一 × ＝ 。 Ｊ ‘ ｒ［（ ＋ ）（ａ— 。）＿ｆ二 ＿二Ｆ ■ ＋ （１７） ×ｓｉｎｘ ＋ ｒｌ ｔ￣－ａｌ∑ ｒ２ｔ＂－￣２∑ 而 雨 （－ ｒｌ可ｔ￣ｌ ）Ｊ 对上述解析解，级数取前５Ｏ项截断计算，记数值解“ （ｚ， ），相对误差表示为 ｒ：＝： “（ ，ｆ）一“ （ ， ￡）ｌＩ ／１ｌ（“，￡）ｌ ．数值结果分别列于表１～表３和图１．ｌ 表１ 空间步长对解误差的影响（ｆ＝０．５） 第３期 孙春龙，等：含三个时间分数阶导数的反常扩散方程求解与微分阶数反演 表２ 时间步长对解误差的影响（ｆ＝０．５） ５ ｒ Ｅｒｒ １／１００ ２．１４０２７×１ １／２００ ３ １．０７７３×１０＿。１／３０Ｏ １／５Ｏ０ １／１０００ ７２４９０×１ ４ ４．０４４０３×１ ４ ２．３４３３×１旷＿４ ．表３ 不同微分阶数对正问题求解的影响（ｆ＝０．５） 图１ ｔ＝Ｄ．５时的数值解与解析解 从表１的计算结果可以看出，空间步长对误差的影响不大；由表２的计算结果可以看出，随着时间步长 的减小，误差逐渐减小；由表１、表２及图１的结果可以看到，正问题的数值解和解析解吻合的较好．从表３看 出，时间微分阶数对正问题求解具有一定的影响，微分阶数越接近，解误差有所减小． ２ 确定微分阶数的反问题与反演算法 ２．１ 反问题的提出 假设方程（１）中的时间微分阶数未知，那么为了确定各个微分阶数的值，需要补充关于正问题解的部分 条件信息，并联合正问题（１）～（２）形成一个确定微分阶数的反问题．本文给定内点ｚ—ｚ。，时刻ｔ （ ＝＝＝１，２， …，Ｎ）的观测值为附加数据，记为ｕ（ｘ。，ｔ，）一Ｏ（ｔ，），则可定义附加数据向量Ｖ： ｙ ｛ （￡ ）），＿１ＩＮ． （１８） 这样，由附加数据（１８）联合正问题（１）～（２）构成了一个确定微分阶数（ ａ ，ａ ）的数值反演问题．下面 给出同伦正则化算法，并对上述确定微分阶数的反问题进行数值反演模拟． ２．２ 同伦正则化算法 记ａ一（口 ，口 ），利用上一节的差分方法求解正问题可得其解，并在ｚ＝＝ｚ。处赋值，记之为ｕ（ｘ。，ｔ；ｎ）， 这可以看作对应于输入数据口一（ａ，ａ ，ａ ）的一个计算输出． 另一方面，反演问题求解的一种最优化方法是使得计算输出值与附加观测值在某种误差意义下最小．记 【，（口） ｛ｕ（ｘ。，￡，；ｎ）） ，联合附加数据（１８），对反问题数值求解一个有效的途径为求解以下极小值问题 （１９） （２０） ｍｉｎ ｌ ｌｕ（口）一Ｖ ｌｌ。 为了克服病态性，应用同伦思想可将上式转化为如下极小值问题： ｍｉｎ｛（１一 ）【 ｌＵ（ａ—Ｖ ｌ ＋ 【Ｉ ｌａ ｝ 其中＿】ａ ＩＩ 一 参数，即取 — 是通常的欧式范数， ＞０是正则化参数．取Ｓｉｇｍｏｉｄ拟神经网络函数作为正则 一 Ｆ ２１） 根据同伦正则化思想，上述极小问题（２Ｏ）的求解又转化为对于给定的ａ ，通过求解最佳摄动量砸 进而 确定ｎ 的一种迭代算法：ｎ井１一ａ ＋ ， 一０，１，２，… （２２） 且砸 是下述目标函数的极小值 Ｆ（砸 ）一（１一 ）Ｉ （口 ＋３ａ ）一Ｖ Ｉｌ ＋ ｌｌ Ｉ将ｕ（ｘ。，ｔ，；ｎ ＋３ａ ）在ａ 处作泰勒展开，并略去高阶项，可以得到 ｕ（ｘｏ，ｔｊ；口 ＋３ａ ）一ｕ（ｘ０，ｔ，；ａ ）＋ｖ “（ｚ０，ｔ，；ｎ ）・砸 ＋０（砸 ） Ｉｌ （２３） 则目标函数Ｆ（ ）可近似表为 Ｎ Ｆ（ ）一∑（１一 ）ｃ ｌＶ乏 （ｚ。，ｔ，；口 ）一［ （￡，）一ｕ（ｘ。，ｔｊ；口 ）］ｌ ＋ ｌｌｌ蕊 ｌ ＩＪ＝１ （２４） （２５） 记Ｇ一（ｇ ） ，ｇ 一丛 ［ ６ 山东理工大学学报（自然科学版） 式中叫为数值微分步长．不难验证泛函极小问题等价于求解规范方程： （（１一 ）Ｇ Ｇ＋ＡＩ）融 一（１一 ）Ｇ （Ｖ—ａＵ）， （２６） 则得到每一步迭代的最优摄动量 一的计算公式： （２７） （（１一 ）Ｇ Ｇ＋ＡＩ） （１一 ）Ｇ （ —Ｕ） 对于给定的精度ｅｐｓ，判断ｌｌ撒 ｌｌ≤ｅｐｓ是否成立，若满足则融 即为所求；否则由式（２２）得到ｎ ｔ，再 通过规范方程继续求解． ３ 数值反演 本节应用同伦正则化算法对确定微分阶数的反问题（１）～（２）及（１８）进行数值反演．取初始函数－厂（ｚ） 一ｓｉｎｘ，以下若无特殊说明，正问题计算中均取ｚ一丌，扩散系数Ｄ一１，终值时刻Ｔ一１，且Ｍ一１００，Ｎ一 １００．附加数据取为在 。一０．５处的观测数据，数值微分步长 一０．０１，停止准则ｅｐｓ—ｌｅ一６，预估迭代次 数Ｎ。一５， 一０．８，设式（１）中ｒｌ＝ｒ２—０．５，取ａ一０．９， １—０．７，ａ２＝＝＝０．５，则微分阶数真值ａ一（０．９， ０．７，０．５），ａ 表示反演解，Ｅｒｒ—ｌｌ ａ 一ａ ｌ ／ｌｌｌ ａ Ｉｌ。表示反演解与真解的误差． ３．１ 附加数据不带扰动的情形 （１）时间步长对反演结果的影响 令初始迭代值ａ。一（０．３，０．２，０．１），反演计算结果列于表４，ｎ表示迭代次数． 表４ 时间步长对反演结果的影响 表５ 空间步长对反演结果的影响 １／１Ｏ０（０．９００００００１，０．６９９９９９９５，０．５００００００２） ４．２９４９２×１０—８ ２３ １／２００ （０．９００００００１，０．６９９９９９９５，０．５００００００２） ２．７１５５８×１０—８ ２２ １／３００ （０．９０００００００。０．７０００００００，０．５００００００Ｃ１） ６．６６２２４×ｌＯ一１０ ２２ １／５０Ｏ（０．９０００００００，０．６９９９９９９９，０．５０００００００） ６．９９９２４×ｌＯ一９ ２１ １／１０００（Ｏ．９０００００００。０．６９９９９９９９，０．５００００００１） ９．７８０２１×１Ｏ一９ ２Ｏ 由表４可以看出，时间步长对反演结果影响不大，只是随时间步长的变小迭代的次数稍微减少． （２）空间步长对反演结果的影响 取初始迭代值ａ。一（０．３，０．２，０．１），反演计算结果列于表５， 表示迭代次数． 由表５可以看出，空间步长对反演结果的影响很小． （３）微分阶数对反演结果的影响 令初始迭代值ａ。一（０．３，０．２，０．１），考察时间分数阶ＯＬ，ａ ， ：的不同取值对反演结果的影响，计算结果 见表６，１＂／表示迭代次数． 表６ 微分阶数对反演结果的影响 通过表６可以看出微分阶数对反演结果有一定的影响，随着微分阶数的接近误差有所增加，并且迭代步 数也略微增加． ３．２ 附加数据有扰动的情形 （１）扰动水平对反演结果的影响仍取微分阶数真值ａ一（ｏ．９，ｏ．７，０．５），数值微分步长ｒ＝＝＝ｏ．ＯＯｌ，分别 取扰动水平 ＝＝：１ ，０．１ ，ｏ．０５％，０．０１ ，２０次反演计算的平均值列于表７． 通过表７可以看出随着数据扰动水平的减小，反演结果精度越来越高． （２）计算次数对反演结果的影响 第３期 孙春龙，等：含三个时间分数阶导数的反常扩散方程求解与微分阶数反演 表７ 扰动水平对反演结果的影响 ７ 表８ 给定扰动水平下计算次数对反演结果的影响 设扰动水平 一１％，考察计算次数对反演结果的影响，结果见表８，其中Ｐ表示计算次数． 由表８可以看出，对于给定的扰动数据，计算次数对反演结果的影响不大． ４ 结束语 本文探讨了含有三个时间分数阶导数的一维反常扩散方程求解及确定微分阶数的反问题．正问题的数 值模拟结果表明，数值解与解析解吻合较好，所建立的有限差分格式是有效的．对于确定三个微分阶数的反 问题，虽然理论上还没有解决反演的稳定性问题，但应用同伦正则化算法可以实现对多个微分阶数的数值反 演．通过反演计算结果发现，当数据扰动水平较大时，解误差变得较大．这说明含多个时间分数阶导数的反常 扩散方程的微分阶数反问题具有较高的病态性，其他更有效的反演算法是需要进一步研究的课题． 参考文献： ［１］陈文，孙洪广，力学与工程问题的分数阶导数建模［Ｍ］．北京：科学出版社。２０１０ ［２１于强，刘发旺．时间分数阶反应一扩散方程的隐式差分近似［Ｊ］，厦门大学学报：自然科学版，２００６，４５（３）：３１５—３１９． ［３１沈淑君．分数阶对流一扩散方程的基本解和数值方法［Ｄ］．厦门：厦门大学，２００８． ［４１ Ｌｉｕ Ｆ，Ｍｅｅｒｓｃｈａｅｒｔ Ｍ Ｍ，ＭｃＧｏｕｇｈ Ｒ Ｊ，ｄ ａ１．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ－ｔｅｒｍ ｔｉｍｅｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｗａｖｅ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１３，１６：９－２５． ［５］Ｙｕｒｙ Ｌ Ｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙ－ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｕｌｔｉ－ｔｅｒｍ ｔｉｍｅ－ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１１，３７４：５３８—５４８． ［６］Ｊｉａｎｇ Ｈ，Ｌｉｕ Ｆ，Ｔｕｒｎｅｒ Ｉ， ａ１．Ｂｕｒｒａｇｅ，Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ—ｔｅｒｍ ｔｉｍｅ—ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ—ｗａｖｅ／ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｄｏｍａｉｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１２，６４：３ ３７７—３ ３８８． ［７］Ｃｈｅｎｇ Ｊ，Ｎａｋａｇａｗａ Ｊ，Ｙａｍａｍｏｔｏ Ｍ，ｅ１．ａ１．Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｉｎ ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ａ ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｉｎｖｅｒｓｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，２００９，２５：１１５ ００２—１１５ ０１７． ［８］Ｌｊｕ Ｊ Ｊ，Ｙａｍａｍｏｔｏ Ｍ。Ａ ｂａｃｋｗａｒｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］，Ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１０，８９：１ ７６９—１ ７８８． ［９］Ｚｈｅｎｇ Ｇ Ｈ，Ｗｅｉ Ｔ．Ｓｐｅｔｒａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａ Ｃａｕｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ａｄｖｅｃｔｉｏｎ—ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１０，２３３：２ ６３１—２ ６４０． ［１ｏ］Ｚｈｅｎｇ Ｇ Ｈ，Ｗｅｉ Ｔ．Ｔｗｏ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ａ Ｒｉｅｓｚ—Ｆｅｌｌｅｒ ｓｐａｃｅ－ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｂａｃｋｗａｒｄ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ１．Ｉｎｖｅｒｓｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，２０１０，２６：１１５ ０１７—１１５ ０３８． Ｓａｋａｍｏｔｏ Ｋ，Ｙａｍａｍｏｔｏ Ｍ． Ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅ／ｂ０ｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ—ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｓｏｍｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ［１１］ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１１，３８２：４２６—４４７． Ｘｕ Ｘ，Ｃｈｅｎｇ Ｊ，Ｙａｍａｍｏｔｏ Ｍ．Ｃａｒｌｅｍａｎ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｆｏｒ ａ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｈａｌｆ ｏｒｄｅｒ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ＬＪ］．Ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１１， ［１２］ ９Ｏ：ｌ ３５５—１ ３７１． ［１３］Ｙａｍａｍｏｔｏ Ｍ，Ｚｈａｎｇ Ｙ．Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ａ ｚｅｒｏｔｈ—ｏｒｄｅｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｎ ａ ｈａｌｌ！一ｏｒｄｅｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｙ ａ Ｃａｒｌｅｍａｎ ｅｓｔｉｍａｔｅ［Ｊ１．Ｉｎｖｅｒｓｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，２０１２，２８（１０）：１０５ ０１０—１０５ ０１９． ［１４］Ｘｉｏｎｇ Ｘ Ｔ，Ｚｈｏｕ Ｑ，Ｈｏｎ Ｙ Ｃ．Ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ２－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃａｓｅ：Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１２，３９３，１８５—１９９． ［１５１ Ｌｉ Ｇ Ｓ。Ｇｕ Ｗ Ｊ．Ｊｉａ Ｘ Ｚ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｐａｃｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｖｅｒｓｅ ａｎｄ Ｉｌｌ—Ｐｏｓｅｄ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，２０１２，２０（３）：３３９—３６６． ［１６］Ｗｅｉ Ｔ，Ｚｈａｎｇ ｚ Ｑ．Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｏｕｒｃｅ ｔｅｒｍ ｉｎ ａ ｔｉｍｅ—ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ，２０１３，３７：２３—３１． ［１７］Ｉｇｏｒ Ｐｏｄｌｕｂｎｙ，Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓａｎ Ｄｉｅｇｏ：Ａｃａｄｅｍｉｃ ｐｒｅｓｓ，１９９９． （编辑：刘宝江）