数学建模

数学建模期末考试

课程名称： 数学建模

论文题目： 水资源利用效率的评价

系 别： 数学系 年级： 2011级 专业班： 数学1班

学 生 姓 名： 李四平、杨央央、周丽琼

学 号： 11090117、11090140、11090147

开 课 时 间： 2013 年 上 学 期

成 绩 授课教师 宫兆刚 水资源利用效率的评价模型

摘要

科学、客观、准确地进行水资源利用效率评价，可为政府行政主管部门提供水资源科学管理的决策依据，对产业结构调整、节水技术和产品的推广具有十分重要的意义。本文考虑到水资源利用效率的复杂性，各评估指标的模糊性等难以完全量化的问题，先对水资源利用效率的影响指标因素分为几个方面，其中包括生态效益、社会效益和经济效益，然后再进一步同个各个指标因素分析影响这些指标的子指标。

问题一中就产业水资源效率方面而言，万元GDP用水量就是衡量用水效率的指标。下文通过单位用水产值使用万元GDP用水量来计算水资源利用效率，针对不同行业，就该行业的GDP越大，而用水量越少，说明该行业用水效率越高。在考虑工业和农业用水效率时，由于不同行业之间水资源利用效率没有可比性，本文考虑引入产业的水资源利用效率系数来反映某区域的工、农业效率水平，这样就可以进行该区域农业和工业水资源利用效率的比较。

问题二要求利用题目数据，通过各个指标和各个省市进行对水资源利用效率的综合评价，但综合评价属于全面的、复杂的问题，一般该类问题都可以通过层次分析法来建立模型求解，把水资源利用效益和效率细分为3个指标，为生态效益、社会效益和经济效益，而题目中提供的有8项指标，经过筛选，选取年降水量、人均COD排放量、人均生活用水量、农业万元GDP用水量和工业万元GDP用水量这5项指标作为对水资源利用效率比较有影响力的指标因素，然后把这5项指标建立层次分析模型，最后通过各省市的水资源利用效率的权重不同进行排序。对于该类问题，本文通过建立经典的层次分析模型对其进行全面评价。首先考虑原数据单位不统一的问题，本文使用无量纲化方法对数据进行预处理。

问题三，考虑到问题二建立模型方案层中的评价指标较少，为了根据精确的评价各省份的水资源利用效率情况。通过查阅资料，本文适当的加入新的指标，并通过层次分析发建立优化的层次分析模型。通过建立的模型求解出各指标的权向量。

对于问题四，通过查阅《2009中国年鉴》找到对应水资源指标数据，利用求解问题三时建立的优化层次分析模型对2008年中国各省的用水情况进行分析评价，最后本文针对求解数据提出提高水资源利用效率的若干建议。

关键词：层次分析法 权向量 可比性

一、问题的提出与重述

1.1问题的提出：

随着可持续发展观的提出与深入人心，越来越多的人开始关注资源的利用效率与效益以及生态平衡问题，作为一个人口大国，虽然自然资源储备较丰富，但是人均资源却是非常的贫缺。其中，水作为不可缺少的自然资源，却面临着日益紧缺的局面。

基于上述考虑，有必要建立水资源利用效率评估指标体系和效益评价模型，用于对全国范围内不同行业、不同城市进行水资源利用效率和效益评估，为政府行政主管部门提供水资源科学管理的决策依据，进行合理的产业结构的调整，促进节水技术和产品的推广，实现水资源的可持续发展。在建模中要充分考虑到各省市自然条件和产业结构的差异，使得评价的结果确实能够指导节水增效，真正有助于改善水资源利用的实际情况。

1.2问题的重述：

关于我国水资源的利用已有些初步的研究，提出了一些反映水资源利用状况的指标：如水资源总量、年降水量、农业万元GDP用水量(农业用水量与农业万元产值的比值)、工业万元GDP用水量(工业用水量与农业万元产值的比值)、人均COD排放量(化学需氧量（COD）是在一定的条件下，采用一定的强氧化剂处理水样中的有机物时，所消耗的氧化剂量。它的多少可以反映该地区工业发达的程度以及对污染治理的力度)、人均水资源量、人均生活用水量 (人们日常生活所消耗的水量)。下表给出了这些指标的13个省市的数据。

请你根据上述要求考虑以下问题：

（1）利用提供的数据，分别对各个行业水资源效率进行专项评价。 （2）利用提供的数据，考虑到各个省市的水资源条件和产业结构差异，给出这13个省市的综合用水效益的合理评价。

（3）上述反映水资源利用情况的指标是否已构成了一个合理的水资源利用效率和效益评估指标体系？

（4）运用你所建立的水资源利用效率和效益评估指标体系与评价模型，对你所能收集到的我国各个省市水资源利用情况按专项和综合分别进行评估。

二、模型假设

1.假设题目所提供的数据均有效，不存在这些数据被他人修改等情况。 2.假设本文通过主观提供的权重值相对准确。

3.农业用水方面不考虑用水污染，只考虑中国传统室外作业与用水效率、效益的关系。

4.在行业上只考虑农工业，不考虑第三产业对用水的影响。

三、符号说明

t T k r R λmax w Ci 某地某产业水资源利用效率 全国某产业水资源利用率 某地某产业水资源利用效率系数 某地某产业万元GDP用水量 全国某产业平均万元GDP用水量 最大特征根 权向量 各水资源指标 四、问题分析

4.1问题一分析

针对于题目所要分析这两个行业水资源效率的评价问题，本文从“专项”性出发，这里的“专项”性指的是一种因素对各个行业水资源效率的影响，而产业水资源利用效率是指单位水资源对于该产业带来的经济、社会或者生态效益。对于第一问，只考虑单位水资源对该产业所带来的经济效益为目标。根据该目标建立产业水资源利用率评价模型。水资源利用效率反映了该产业的水资源的使用情况：对于不同地区同种产业水资源的利用率越高说明该地区对水资源的使用合理性越好。

比较和衡量水资源利用效率的经济效益时，经常使用单位水产值这一指标，其计算公式为：

产业水资源利用效率该产业GDP 该产业消耗的水资源量通过公式可知当该产业的消耗水资源量一定时，该产业的GDP越高说明该产业的水资源利用率越高。

进一步分析农业和工业水利用率的情况，由于农业属于高耗水产业，而且农业的GDP产值也低于工业GDP产值，如果简单的比较其水资源利用效率是不合理的，同时农业和工业是不同领域的两种产业不具可比性。为此本文引入了产业水资源利用率系数，通过比较某个地区的产业利用率以全国评价该产业的比值，分析该地区的水资源利用情况。

4.2问题二分析

综合考虑水资源的效率应该包括水资源对生态、经济和社会产生的效益。而生态、经济和社会效益又包含了若干评价指标，对于评价这种复杂的、包含广泛的系统需要考虑到多个因素，因素越多所得的结果就越精确，但是过多的因素会造成难于计算，根据题目为此选取人均COD排放量为生态效益指标，农业万元GDP用水量、工业万元GDP用水量作为经济指标，人均生活用水量作为社会指标。

对于这样的问题一般通过层次分析模型对其进行求解。根据不同省市水资源条件和产业条件来看，对于不同的省份来说对于经济效益和环境效益的偏重有所不同。为此本文分别建立两个评价指标对各省份进行评价，然后综合两指标统计出来的数据，分析各省份的用水情况。 4.2.1分析生态效益指标

针对水资源的生态效益，首先对水资源生态效益的各评价准则进行细化，找出各个评价准则的评价指标，以水资源利用效益为目标，生态效益为该目标中的影响因素之一，而影响生态效益的因素则包括年降雨量和人均COD排放量。年降雨量的多少决定此区域的生态环境的优劣程度，年降雨量在中国的不同区域降雨量都不相同的，该评价指标也反映了不同区域（省市）间的差异程度；而人均COD排放量的多少可以反映该地区工业发达的程度以及对污染治理的力度，所以把这两个评价指标归为生态效益这一方面。结合13个省市与这两个评价指标间的关系，最终可以得到这13个省市间生态效益的评价程度。 4.2.2分析社会效益指标

同样，社会效益指标也是影响水资源利用效益的因素之一，影响社会效益的因素包括人均生活用水量，由于题目限制，只能对这项指标进行分析。人均生活

用水量对社会效益的影响是巨大的，人均生活用水量可以间接的反应该区域的社会环境生活程度。，所以把这项指标归为社会效益的评价指标。最后把12省市与这两项评价指标建立一定程度的关系，并且求得这13个省市间社会效益的评价程度。

4.2.3分析经济效益指标

经济性GDP和许多方面的因素有关，该题所给的农业、工业万元GDP用水量对一个区域的水资源经济效益影响是巨大的，农业万元GDP用水量指该行业每产价值一万元的物品，需要花费1个单位水量；同理，工业万元GDP用水量同样指该行业每产价值一万元的物品，需要花费1个单位水量。这两项指标均在一定程度上反映了该地区对经济效益的影响，所以经济效益也对水资源的利用效率有关。

4.2.4分析水资源利用效率指标

把水资源的三大指标都细分开来了，它们包括生态效益、社会效益和经济效益，它们分别都对水资源利用效益有一定程度的影响，这里要对各个指标进行权重的分析，把各个指标进行量化分析，最终得到相关的量化指标如下：

生态效益：年降雨量、人均COD排放量 社会效益：人均生活用水量

经济效益：农业万元GDP用水量、工业万元GDP用水量

4.3问题三分析

由上文可知对于一个评价系统而言，选取的评价指标越多，评价的结果越接近实际情况，但是过多的评价指标会增加评价的工作量。就全国各地而言，水资源条件有很大的不同，各种类型水资源缺陷有：水资源短缺型、工程缺水型、水质污染型和混合型。根据问题二可以知道对于一个评估模型，选取的评估指标越多，对评估的结果越准确，但是过多的评估指标会给评价增加难度，甚至会造成难以评估出自己想要的结果，所以要合理的增加评估指标。这里本文题目所给的指标有八项，而其中所能用到的指标只有五项，包括：年降水量、人均COD排放量、人均生活用水量、农业万元GDP用水量和工业万元GDP用水量，这五项指标对13个省市水资源利用效率的评价情况，本文觉得评价指标相对来说还是比较少的，因此缺乏准确性，不能较合理的对各个省市的水资源利用效率进行评价。所以本文通过在网上搜寻到其他几项指标对生态效益、社会效益和经济效益的影响，分别如下表示。

生态效益：人均COD排放量、年降水量、工业废水中污染物去除总量(吨/年)、湿地总面积占国土面积的比重、森林覆盖率

社会效益：人均生活用水量、生活污水排放量(万吨/年）

经济效益：农业万元GDP用水量、工业万元GDP用水量、工业废水排放总量 (万吨/年）、节水灌溉面积（万公顷/年)、 工业节约用水量(万立方米/年)

可以看出所添加的指标是工业废水排放总量、节水灌溉面积、工业节约用水量、生活污水排放量、工业废水中污染物去除总量、湿地总面积占国土面积的比重和森林覆盖率。

4.4问题四的分析：

通过查阅《2009中国年鉴》找到对应水资源指标数据，结合找到的数据利用问题三所建立的优化层次分析评价模型对所找的数据进行综合评价，分析各个省份的用水情况。

五、模型的建立与求解

5.1问题一求解

根据前文对问题一的分析可知，可以建立一个行业水资源评价模型，对于问题中所提到的产业水资源的利用率在现实生活中包含了广泛的含义，但对于该问题来说只需考虑水资源的利用对经济带来的效益。通过查阅资料知道就经济而言，产业单位水产值经常用于评价产业水资源利用率，在根据题目中所给的数据可得其计算公式如下：

产业水资源利用效率该产业GDP10000 该产业消耗的水资源量某地某产业万元GDP用水量设t为某地某产业水资源利用效率，r为某地某产业万元GDP用水量所以有：

10000 （1） tr通过对原数据进行计算可以求得数据中各地区的农业水资源利用率和工业水资源利用率如下表（表1）。

表1：各省份工业、农业水资源利用率表 省份 河北 湖北 湖南 广东 工业水资源利用率（元/吨） 446.727 81.858 22.902 31.090 农业水资源利用效率（元/吨） 7.894 10.037 6.202 10.523 广西 云南 新疆 北京 山西 山东 河南 安徽 浙江

25.098 47.503 62.225 169.736 99.463 274.709 316.666 27.429 409.952 4.258 5.253 6.464 10.621 8.437 11.625 20.873 8.095 12.158 可以看出各个省市的农业水资源利用效率和工业水资源利用效率，把表1的数据利用excel软件整理出图1、2来把这些数据形象化。

图一、工业水资源利用效率 图二、农业水资源利用效率

从图1、2中可以明显的看到工业水资源利用率要远高于农业水资源利用率，但是在现实中农业是水资源高耗的产业，且农业的GDP产值也比工业的GDP产值低，不能简单的通过产业水资源利用率对两者进行比较。为此本文引入了产业水资源利用率系数，设k为某地某产业水资源利用效率系数，T为全国某产业水资源利用率，R为全国某产业平均万元GDP用水量，则产业水资源利用率系数公式为：

ktR （2） Tr通过产业水资源利用效率系数，可以比较该地区该产业的水资源利用水平相对于全国 产业水资源利用效率水平的情况，如果k >1时表明该地区的产业水资源利用水平高于全国标准水平，当k <1时表明该地区产业水资源利用水平低于全国标准水平。k除了评价该地区某产业的水资源利用率水平的高低外还能比较该地区不同产业间的关系，以确定该地区该地区农业与工业间的水资源利用效率

的高低：

当k工>k农时，说明就全国而言该地区的工业水资源利用效率比农业水资源利用效率高；反之，当k工通过公式（2）对原数据计算求得各省的农业和工业水资源利用效率系数如下表（表2）。

表2：各省份工业、农业水资源利用率系数表 省份 河北 湖北 湖南 广东 广西 云南 新疆 北京 山西 山东 河南 安徽 浙江

据表2和图1、2分析，农业水资源利用效率远远小于工业水资源利用效率，这里主要考虑的是农业的灌溉等方式的不合理性，农业水资源利用效率与所在地区的气候条件密切相关，且还需考虑到该地区的经济发达程度，发达地区工业对水资源的利用效率明显会比不发达地区高，且发达地区节约水资源的意识也比不发达地区高，同样水资源的利用效率也与地区的降水量和水资源总量成一定的关系，好比南方地区，水资源相对充足，人们对水资源的节约程度会明显的低于北方水资源贫乏的地区，又观察到有些以农业为主的省份但工业的水资源利用率系数却高于农业水资源利用效率系数，这些都提醒我们要节约用水，合理利用水资源，发达地区不能只关注经济效益，不管社会和生态效益，非发达地区要注意节水意识。

工业水资源利用率系数 2.882 0.528 0.148 0.201 0.162 0.306 0.401 1.095 0.642 1.772 2.043 0.177 2.644 农业水资源利用效率系数 0.838 1.066 0.659 1.117 0.452 0.558 0.686 1.128 0.896 1.234 2.216 0.860 1.291 5.2问题二求解

层次分析法包括选取评价指标、建立层次结构图、层次单排序、层次总排序等等。层次分析法（AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题做出决策的简易

方法，它特别适用于那些难于完成定量的分析问题。从顶层开始根据相邻层不同的指标对于上一层关联指标的成对对比矩阵求该矩阵的最大特征根、及对应的权向量和一致性比率。

其中：CImaxnn1，CR=CI/RI, CI为一致性指标，CR为一致性比率,<0.1

表示通过一致性检验

根据题意建立层次结构模型如下：

建立基于层次分析法的生态效益估算模型：

通过上述得到生态效益与人均COD排放量和年降水量的关系，并且分析层次关系得到，根据具体情况得出成对对比矩阵如下：

141/41 其中矩阵各元素aij中i、j表示{1：人均COD排放量、2：年降水量}。在成对对比矩阵中可以看到a12=4，说明人均COD排放量与年降水量的比值为4:1得到这样的比值是根据现实生活中，人均COD排放量和年降水量对生态效益的影响，这样形成成对对比矩阵。

使用matlab（见附录1）软件求得最大特征根、及对应的权向量和一致性比率如下：

max2,10.8,0.2,CI0,RI0,CR00.1,符合一致性检验。 建立基于层次分析法的社会效益估算模型：

根据建立的层次分析图，考虑经济效益高于生态效益的情况下，由于在现实生活中社会效益包括人均GDP、就业问题、福利问题等，因此社会效益是人们所最看重的。对于该种情况做出对应的成对对比矩阵如下：

T11/31/431 1141

使用matlab（见附录2）软件求得最大特征根、及对应的权向量和一致性比率如下：

max3.0092,2(0.1263,0.4160,0.4577)T,CI=0.046,RI=0.058,CR=0.079<0.1, 符合一

致性检验。

建立基于层次分析法的经济效益估算模型:

通过上述得到经济效益与农业万元GDP用水量和工业万元GDP用水量的关系，并且分析得到层次关系图，根据具体情况得出成对对比矩阵如下：

11/221 其中矩阵各元素Aij 中i、j表示{1：农业万元GDP用水量、2：工业万元GDP用水量}。在成对对比矩阵中可以看到A21=2，说明工业万元GDP用水量与农业万元GDP用水量的比值为2:1得到这样的比值是根据现实生活中，农业万元GDP用水量和工业万元GDP用水量对经济效益的影响，这样形成成对对比矩阵。

使用matlab（见附录3）软件求得最大特征根、及对应的权向量和一致性比率如下：

max2,W2(0.33,0.67)T,CI0,RI0,CR00.1符合一致性检验。

5.3问题三求解

根据题目中的要求，本文添加了几项评价指标，增加对模型的准确性，具体所添加的指标为：

生态效益：工业废水中污染物去除总量(吨/年)、湿地总面积占国土面积的比重、森林覆盖率

社会效益：生活污水排放量(万吨/年）

经济效益：工业废水排放总量(万吨/年）、节水灌溉面积（万公顷/年)、 工业节约用水量(万立方米/年) 根据题意建立层次结构模型如下：

水资源利用效率生态效益 社会效益 经济效益 年降人均雨量 COD排放量 工业废水中污染物去除总量 湿地总面积占国土总面积的森林人均生活覆盖生活污水率 用水排放量 量 农业万元GDP用水工业万元GDP用水工业节水工业废水灌溉生活排放面积 用水总量 量

所以：

11/21.生态效益的成对对比矩阵：A1=34721/31/41/711/41/71/8411/21/3

7211/38331

11/231/41/72141/31/62.经济效益的成对对比矩阵：A2=1/31/411/61/8

43611/468417

133.社会效益的成对对比矩阵：A3= 1/31同理，由于以上问题二中有利用到求最大特征根、及对应的权向量和一致性检验，所以这里的简洁的利用上述方法利用matlab（见附录4,5，6）软件求的最大特征根、及对应的权向量和一致性比率如下：

1）生态效益的最大特征根、及对应的权向量和一致性比率：

max5.1059,w1(0.0662,0.0419,0.1604,0.2513,0.4802)T,CI0.02648,RI1.12,CR0.02360.1

2）社会效益的最大特征根、及对应的权向量和一致性比率：

max5.2499,w2(0.0762,0.1143,0.0390,0.2306,0.5399)T,CI0.06248,RI1.12,CR0.055780.1

3）经济效益的最大特征根、及对应的权向量和一致性比率：

max2.0,w3(0.7500,0.2500)T,CI0,RI0,CR00.1

以上生态、社会和经济效益均符合一次性检验。

5.4问题四求解

分析2008年各省水资源效率情况：通过查阅《2009年中国年鉴表》得到关于2008年水资源各指标数据表：2008年水资源指标。根据所找到数据的13个指标，将各指标分成正、负方向指标。其指标划分如下表（表3）。

表3：2008年水资源各指标表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 指标 指标含义 万元GDP用水量 人均综合用水量 人均COD排放量 废水排放处理率 生态环境用水比例 农业万元GDP用水量 农田灌溉亩均用水量 工业万元GDP用水量 万元工业增值用水量 人均日生活用水量 农村人均日生活用水量 城镇人均日生活用水量 人均GDP 指标类型 负向 负向 负向 正向 正向 负向 负向 负向 负向 负向 负向 负向 正向 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13

由于各指标存在不同的方向，为了统一数据所以做上文的转化为正方向，其转化公式为：

cijmin{ci1,ci2,,ci30}'当Ci指标为正向时有：Cij

max{ci1,ci2,,ci30}min{ci1,ci2,,ci30}max{ci1,ci2,,ci30}cij'当Ci指标为负向时有：Cij max{ci1,ci2,,ci30}min{ci1,ci2,,ci30}通过公式求得各省份各指标的Cij值其数据表（见附表：2008年水资源指标）。再通过问题三所建立的优化层次分析模型对各省份进行综合评价，其排序得分表

如下（表4，完整表见附表：2008年水资源指标）。

表4：各省份得分排序表 排序 1 2 3 4 „ 28 29 30 31 省份 天津 内蒙 山东 北京 „ 湖北 新疆 西藏 广西 得分 0.8212569 0.7931387 0.7544564 0.7531464 „ 0.3866109 0.382586 0.3703707 0.3325778 从数据中可以明显看出包括广东、广西、„、西藏等很大的一部分面积的水

资源效率都较低，针对该情况，本文给出了如下提高水资源的建议：

1.农业用水方面：中国农业年用水约3826亿立方米（2001年）,其中灌溉用水约占91.1%,占全社会总用水量的68.7%左右。政府部门要重视农业节水灌溉，大力发展节水型农业，同时在节水措施上，大力兴建\"U\"型渠道，对渠道进行防渗处理；发展喷灌、微灌等先进灌水方法，改进沟灌、畦灌、淹灌等传统地面灌水方式，提高灌溉水利用系数。

2.工业用水方面：城市是工业的集中地，在我国城市用水量中工业用水量占60％～65％。由于工业用水量大、供水比较集中、节水潜力相对较大且易于采取节水措施，因此，在相当长的时期内工业用水是城市节水的重点。

3.生活用水方面:生活用水重点是个人平时的用水，主要提高全民意识，鼓励群众积极参与。适当提高居民用水单位价格，政府带动宣传，科学节约用水，循环利用生活用水。比如洗脸漱口水可以收集起来，用来拖地，拖地之后可以用来冲厕所或者浇花浇树。

4.可持续发展方面:

（1）提高科技水平，依靠科技现代化推进节水，研制开发节水新途径，并在城市工业治理污水方面加大力度，使水资源得到循环，合理降低二次污染。

（2）提高相关工作者的管理水平，在统计水资源指标方面要真实到位，并在节水管理方面加大学习。

（3）运用政策保护水资源，通过法律手段保护生态环境，严惩破坏生态环境的相关企业。

六、模型的优缺点

优点：该模型用于对全国范围内不同行业、不同城市进行水资源利用效率和效益评估，为政府行政主管部门提供水资源科学管理的决策依据，进行合理的产业结构的调整，促进节水技术和产品的推广，实现水资源的可持续发展。

缺点：对与水资源利用效率的影响因素众多，本文只提取了个别重要因素进行对水资源利用效率评价，而现实生活中往往有一些无法忽略的影响指标我们没有考虑到，从而降低了模型的合理程度。

七、模型的推广

在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。层次分析法是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。其特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。

参考文献

[1]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003.8（2008重印）

[2]郑洲顺、张鸿雁、秦宣云，科学计算与数学建模，上海：复旦大学出版社，2011-1

附录

附录1：

>> A=[1 4;1/4 1]; >> [V,D]=eig(A) V =

0.9701 -0.9701 0.2425 0.2425 D =

2 0 0 0 >> A=[1 4;1/4 1]; >> A1=A;

[m,n]=size(A) ; %求出矩阵的行和列 z=sum(A); %列向量归一 for i=1:m for j=1:n A(i,j)=A(i,j)/z(j); end end

A;

B=cumsum(A,2); %行向量求和

for i=1:m-1 %去掉前m-1列，得单列向量 B(:,1)=[]; end

B2=sum(B); %列归一 for i=1:length(B) B(i)=B(i)/B2; end

B; %归一后得矩阵 TZXL=A1*B ; %所求得特征向量 for i=1:m %和法求最大特征向量 T(i)=TZXL(i)/B(i); end

ZD=sum(T)/m %ZD为最大特征根

B %最大特征根对应的特征向量 RI=[0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; ZD =

9.7173 B =

0.8000

0.2000

附录2：

>> A=[1 1/3 1/4;3 1 1;4 1 1]; >> [V,D]=eig(A) V =

-0.1996 -0.0998 + 0.1728i -0.0998 - 0.1728i -0.6589 -0.3295 - 0.5707i -0.3295 + 0.5707i -0.7252 0.7252 0.7252 D =

3.0092 0 0 0 -0.0046 + 0.1663i 0 0 0 -0.0046 - 0.1663i >> A1=A;

[m,n]=size(A) ; %求出矩阵的行和列 z=sum(A); %列向量归一 for i=1:m for j=1:n A(i,j)=A(i,j)/z(j); end end

A;

B=cumsum(A,2); %行向量求和

for i=1:m-1 %去掉前m-1列，得单列向量 B(:,1)=[]; end

B2=sum(B); %列归一 for i=1:length(B) B(i)=B(i)/B2; end

B; %归一后得矩阵 TZXL=A1*B ; %所求得特征向量 for i=1:m %和法求最大特征向量 T(i)=TZXL(i)/B(i); end

ZD=sum(T)/m ; %ZD为最大特征根

B %最大特征根对应的特征向量 RI=[0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; ZD =

6.6602 B = 0.1263 0.4160 0.4577

附录3：

>> A=[1 1/2;2 1]; >> [V,D]=eig(A) V =

0.4472 -0.4472 0.8944 0.8944 D =

2 0 0 0 >> A1=A;

[m,n]=size(A) ; %求出矩阵的行和列 z=sum(A); %列向量归一 for i=1:m for j=1:n A(i,j)=A(i,j)/z(j); end end

A;

B=cumsum(A,2); %行向量求和

for i=1:m-1 %去掉前m-1列，得单列向量 B(:,1)=[]; end

B2=sum(B); %列归一 for i=1:length(B) B(i)=B(i)/B2; end

B; %归一后得矩阵 TZXL=A1*B ; %所求得特征向量 for i=1:m %和法求最大特征向量 T(i)=TZXL(i)/B(i); end

ZD=sum(T)/m %ZD为最大特征根

B %最大特征根对应的特征向量 RI=[0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; ZD =

8.9830 B = 0.3333 0.6667

附录4：

>> A=[1 2 1/3 1/4 1/7 ;1/2 1 1/4 1/7 1/8; 3 4 1 1/2 1/3 ;4 7 2 1 1/3 ;7 8 3 3 1]; >> [V,D]=eig(A)

V =

0.1129 -0.0517 - 0.0092i -0.0517 + 0.0092i -0.1190 + 0.2541i -0.1190 - 0.2541i 0.0713 -0.0128 - 0.0646i -0.0128 + 0.0646i -0.0713 - 0.1297i -0.0713 + 0.1297i 0.2736 -0.0956 + 0.0404i -0.0956 - 0.0404i 0.6221 0.6221 0.4336 -0.0617 + 0.3604i -0.0617 - 0.3604i -0.3544 - 0.2669i -0.3544 + 0.2669i 0.8481 0.9211 0.9211 0.5242 + 0.2017i 0.5242 - 0.2017i D =

5.1059 0 0 0 0 0 -0.0163 + 0.6748i 0 0 0 0 0 -0.0163 - 0.6748i 0 0 0 0 0 -0.0366 + 0.2849i 0 0 0 0 0 -0.0366 - 0.2849i >> A1=A;

[m,n]=size(A) ; %求出矩阵的行和列 z=sum(A); %列向量归一 for i=1:m for j=1:n A(i,j)=A(i,j)/z(j); end end

A;

B=cumsum(A,2); %行向量求和

for i=1:m-1 %去掉前m-1列，得单列向量 B(:,1)=[]; end

B2=sum(B); %列归一 for i=1:length(B) B(i)=B(i)/B2; end

B; %归一后得矩阵 TZXL=A1*B ; %所求得特征向量 for i=1:m %和法求最大特征向量 T(i)=TZXL(i)/B(i); end

ZD=sum(T)/m %ZD为最大特征根

B %最大特征根对应的特征向量 RI=[0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; ZD =

5.1058 B = 0.0662 0.0419 0.1604 0.2513

0.4802

附录5：>> A=[1 1/2 3 1/4 1/7 ;2 1 4 1/3 1/6 ;1/3 1/4 1 1/6 1/8 ;4 3 6 1 1/4;7 6 8 4 1];

>> [V,D]=eig(A) V =

0.1156 -0.0863 - 0.0149i -0.0863 + 0.0149i 0.1875 + 0.1720i 0.1875 - 0.1720i 0.1759 -0.1015 + 0.0806i -0.1015 - 0.0806i -0.0132 - 0.2481i -0.0132 + 0.2481i 0.0605 0.0003 - 0.0663i 0.0003 + 0.0663i -0.0852 - 0.0287i -0.0852 + 0.0287i 0.3715 0.0725 + 0.3026i 0.0725 - 0.3026i -0.3764 + 0.1566i -0.3764 - 0.1566i 0.9023 0.9351 0.9351 0.8362 0.8362 D =

5.2499 0 0 0 0 0 0.0156 + 1.1325i 0 0 0 0 0 0.0156 - 1.1325i 0 0 0 0 0 -0.1405 + 0.1335i 0 0 0 0 0 -0.1405 - 0.1335i >> A1=A;

[m,n]=size(A) ; %求出矩阵的行和列 z=sum(A); %列向量归一 for i=1:m for j=1:n A(i,j)=A(i,j)/z(j); end end

A;

B=cumsum(A,2); %行向量求和

for i=1:m-1 %去掉前m-1列，得单列向量 B(:,1)=[]; end

B2=sum(B); %列归一 for i=1:length(B) B(i)=B(i)/B2; end

B; %归一后得矩阵 TZXL=A1*B ; %所求得特征向量 for i=1:m %和法求最大特征向量 T(i)=TZXL(i)/B(i); end

ZD=sum(T)/m %ZD为最大特征根

B %最大特征根对应的特征向量 RI=[0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; ZD = 5.25 B =

0.0762 0.1143 0.0390 0.2306 0.5399

附录6:

>> A=[1 3; 1/3 1]; >> [V,D]=eig(A) V =

0.9487 -0.9487 0.3162 0.3162 D =

2 0 0 0 >> A1=A;

[m,n]=size(A) ; z=sum(A); for i=1:m for j=1:n A(i,j)=A(i,j)/z(j); end end

A;

B=cumsum(A,2); for i=1:m-1 B(:,1)=[]; end

B2=sum(B); for i=1:length(B) B(i)=B(i)/B2; end

B; TZXL=A1*B ; for i=1:m T(i)=TZXL(i)/B(i); end

ZD=sum(T)/m B RI=[0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; ZD = 10.0246 B =

%求出矩阵的行和列 %列向量归一 %行向量求和

%去掉前m-1列，得单列向量%列归一 %归一后得矩阵 %所求得特征向量 %和法求最大特征向量 %ZD为最大特征根

%最大特征根对应的特征向量 0.7500 0.2500：