比与比例

11【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，

235丙等于甲、乙两数和的，求甲:乙:丙.

7

22【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的，那么甲的、乙

33的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？

4【例 3】 如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面

511积占圆A面积的，圆B的阴影部分面积占圆B面积的，圆C的阴影部分面积

651占圆C面积的．求圆A、圆B、圆C的面积之比．

3ABC

【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙

三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．

【巩固】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数

与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？

【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程

队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；

②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

【例 5】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两

个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？

模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应

【例 6】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的

人数比为13:11，求一共有多少个苹果？

在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 ___ 元．

【例 7】 一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二

班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．

【例 8】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为

5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？

【巩固】 参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比

四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?

圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?

【例 9】 甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在

甲距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求A这个长方形的周长．

乙

【例 10】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，

相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？

CB【例 11】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15

分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

【巩固】 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件

用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

【例 12】 A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空

11的；若将A桶水的全部和B桶水的，或将B桶水的全部和A桶水的倒入C桶，

53C桶都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？

1【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级

223学生的，等于四年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？

57

4【例 13】 一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去21厘米，长边截去35%以后，得到

5一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米?

【巩固】 一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方

形的面积与原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米?

【例 14】 一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是

2:5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13．小明原来有多少钱？

甲、乙两人原有的钱数之比为6:5，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之比为18:11，求原来两人的钱数之和为多少？

【例 15】 一项机械加工作业，用4台A型机床，5天可以完成；用4台A型机床和2台B型机床3天可以完成；用3台B型机床和9台C型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下A、C型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．

【例 16】 动物园门票大人20元，小孩10元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天

相比，大人增加了60%，儿童增加了90%，共增加了2100人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？

【例 17】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%，

售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，

4这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少

15吨？

（二）利用不变量统一份数 【例 18】 有一个长方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．表面积为72cm2，求这

个长方体的体积.

有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积．

【例 19】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标

准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5:6，中型车与小型车之比是4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？

6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起【例 20】

与3枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？

【例 21】 某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为

10:7:6，速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

【例 22】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数

的比为5:4:3．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块．

【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的

15，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的．今411年儿子多少岁？

【例 23】 一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方

形．在图⑴中小长方形面积的比是A:B1:2，B:C1:2．而在图⑵中相应的比例是A':B'1:3，B':C'1:3.又知长方形D'的宽减去D的宽所得到的差与D'的长减去D的长所得到差之比为1:3．求大长方形的面积．

ACA'C'BDB'D'（1） ⑵

【例 24】 北京中学生运动会男女运动员比例为19:12，组委会决定增加女子艺术体操项目，

这样男女运动员比例变为20:13；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30:19,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？

【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是19:13．放入若干只红球后，红球与白球数量

之比变为5:3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11．已知放入的红球比白球少80只．那么原来袋子里共有 只球．

【例 25】 有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队

7员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，

188而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问

17开始共有多少支突击队参加会战？

（三）利用等量关系列方程解比例 【例 26】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3． 结果录取91人，其中男

生与女生人数之比是8:5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4． 问报考的共有多少人？

【例 27】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙

两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．

36练习1. 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草

47地多占地450平方米． 问：水池占多少平方米?

35甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余240元，乙节

48余480元．甲本月收入多少元？

练习2. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车速度是50千米／小时，乙车速

1度是40千米／小时，当甲车驶过A、B距离的多50千米时与乙车相遇，A、B3两地相距 千米．

月测备选

【备选1】甲、乙、丙三个数，已知甲:乙丙4:3，乙:丙2:7，求甲:乙:丙。

【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，

这堆糖果中有奶糖多少块?

11【备选3】甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的

115速度比是 ．

【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；

再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？

【备选5】加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在

三人在同样的时间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?