2017-2018学年上海市浦东新区八年级（下）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 在下列方程中，分式方程是（ ）
A. 2=1
𝑥
B. √2𝑥=1
C. 𝑥=1
2
D. √𝑥=1
22. 函数y=-x-3的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在下列事件中，确定事件共有（ ）
①买一张体育彩票中大奖；
②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；
③在只装有2只红球、3只黄球的袋子中，摸出1只白球；
④初二（1）班共有37名学生，至少有3名学生的生日在同一个月． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB=CD，添加下列条件后能判
定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. 𝐴𝐷//𝐵𝐶 B. 𝐴𝑂=𝐶𝑂 C. ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶 D. ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴 二、填空题（本大题共14小题，共28.0分） 5. 方程2x3+54=0的解是______． 6. 方程√𝑥+2=x的解是x=______．
7. 如果{𝑦=−1是方程mx2+y2=xy的一个解，那么m=______．
8. 当k=______时，方程kx+4=3-2x无解．
9. 当m=______时，函数y=（m-1）x+m是常值函数． 10. 已知一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且它的截距为-5，那么函数值y随自变
量x值的增大而______．
11. 已知一次函数y=2x+5，当函数值y＜0时，自变量x值的取值范围是______． 12. 已知一辆匀速行驶汽车的路程S（千米）与时间t（时）的
函数关系如图所示，那么这辆汽车的速度是每小时______
千米．
13. 若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是______． 14. 已知菱形一组对角的和为240°，较短的一条对角线的长度为4厘米，那么这个菱形
的面积为______平方厘米．
15. 已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=13厘米，AD=4厘米，高AH=12厘米，那
么这个梯形的中位线长等于______厘米．
16. 从0，1，2，3四个数字中任取三个数字组成没有重复数字的三位数，那么组成的
三位数是奇数的概率是______．
17. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2，将这个矩形沿
直线BE折叠，使点C落在边AD上的点F处，折痕BE交边CD于点E，那么∠DCF等于______度．
𝑥=2
18. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，四边形AOBC是梯形，且对角线AB平分∠CAO，那么点C的坐标为______． 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 19. 解方程：𝑥2−5𝑥−6=𝑥+1+2．
四、解答题（本大题共7小题，共54.0分） 20. 解方程组：{𝑥2+𝑥𝑦−2𝑦2=0．
21. 已知直线y=kx+b与直线y=-3x+k都经过点A（6，-1），求这两条直线与x轴所围成的三角形面积．
E、F分别是对角线BD上的两点，22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，且BE=DF，
⃗ ，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑐⃗ ，𝐵𝐶⃗ ． 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗ =______，向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量⃗ 、⃗ ⃗ 表示下列向量：向量⃗（1）用向量𝑎𝐶𝐸𝐵𝐷𝑏、𝑐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______； 𝐷𝐸
⃗ ． （2）求作：⃗ 𝑏+𝑐
1
𝑥+3𝑦=8
7𝑥
1
1
CD平分∠ACB，23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB=20，AC=10，求线段DM的长．
24. 已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作
DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE=CF，联结DG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连接AF，当∠BAF=3∠FAC时，求证：四边形DEFG
是正方形．
25. 从甲地到乙地有两条公路：一条是全长400千米的普通公路，一条是全长360千米
的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快50千米/时，从甲地到乙地由高速公路上行驶所需的时间比普通公路上行驶所需的时间少6小时．求该客车在高速公路上行驶的平均速度．
AD∥BC，P是下底BC上一动点26. 如图，已知在梯形ABCD中，（点P与点B不重合），
AB=AD=10，BC=24，45°∠C=45°，＜∠B＜90°，设BP=x，四边形APCD的面积为y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）联结PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A、该方程是整式方程，故本选项错误； B、该方程是无理方程，故本选项错误； C、该方程符合分式方程的定义，故本选项正确； D、该方程属于无理方程，故本选项错误； 故选：C．
根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 2.【答案】A
【解析】
解：∵k=-1＜0，
∴一次函数经过二四象限； ∵b=-3＜0，
∴一次函数又经过第三象限，
∴一次函数y=-x-3的图象不经过第一象限， 故选：A．
根据比例系数得到相应的象限，进而根据常数得到另一象限，判断即可． 此题考查一次函数的性质，用到的知识点为：k＜0，函数图象经过二四象限，b＜0，函数图象经过第三象限． 3.【答案】B
【解析】
解：①买一张体育彩票中大奖，是随机事件，故此选项错误； ②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
③在只装有2只红球、3只黄球的袋子中，摸出1只白球，是不可能事件，属于
确定事件；
④初二（1）班共有37名学生，至少有3名学生的生日在同一个月，是必然事件，属于确定事件． 故选：B．
直接利用随机事件以及确定事件的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件以及确定事件的定义，正确把握相关定义是解题关键． 4.【答案】D
【解析】
解：A、不能判断四边形是平行四边形，四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、无法判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、无法判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、由∠BAC=∠DCA推出AB∥CD，结合AB=CD，可以推出四边形是平行四边形； 故选：D．
根据四边形的判定方法即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5.【答案】x=-3
【解析】
解：方程整理得：x3=-27， 开立方得：x=-3． 故答案为：x=-3．
方程整理后，利用立方根定义求出解即可．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 6.【答案】2
【解析】
解：原方程变形为：x+2=x2即x2-x-2=0 ∴（x-2）（x+1）=0
∴x=2或x=-1 ∵x=-1时不满足题意． ∴x=2． 故答案为：2．
本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法． 7.【答案】-4
【解析】
3
解：把方程的解4m+1=-2， ∴4m=-3， 解得m=-， 故答案为：-．
代入方程mx2+y2=xy，可得
依据方程的解概念，将方程的解代入方程进行计算，即可得到m的值． 本题考查了二元一次方程的解，方程的解就是满足方程的未知数的值，把解代入方程即可． 8.【答案】-2
【解析】
解：∵kx+4=3-2x， ∴（k+2）x=-1，
∴k+2=0时，方程kx+4=3-2x无解， 解得k=-2． 故答案为：-2．
方程kx+4=3-2x无解时，x的系数是0，据此求解即可．
此题主要考查了一元一次方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
9.【答案】1
【解析】
解：当m-1=0时，函数y=（m-1）x+m是常值函数， 故m=1时，y=1． 故答案为：1．
直接利用常值函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了函数的概念，正确把握函数的定义是解题关键． 10.【答案】增大
【解析】
解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且它的截距为-5，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，即一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限， ∴k＞0，b＜0．
所以函数值y随自变量x的值增大而增大， 故答案为：增大；
直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数的图象在第一、三、四象限是解答此题的关键． 11.【答案】x＜-2
【解析】
5
解：∵一次函数y=2x+5中y＜0， ∴2x+5＜0，解得x＜-． 故答案为：x＜-．
根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 12.【答案】48
【解析】
解：这辆汽车的速度是故答案为：48
km/h，
根据图象得出汽车的速度即可．
此题考查函数图象，关键是根据图象得出汽车的路程和时间． 13.【答案】4
【解析】
解：设多边形的边数为n， 则（n-2）×180°=360°， 解得：n=4， 故答案为：4．
设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n-2）×180°=360°，求出即可． 本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键． 14.【答案】8√3
【解析】
解：如图，
， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD+∠BCD=240° ，∠ABC=∠ADC=60°∴∠BAD=∠BCD=120°∵AB=BC=AD=DC，
∴△ABC，△ADC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=4， ∴S菱形ABCD=2•S△ABC=2×故答案为8
．
×42=8
，
只要证明△ABC，△ADC是等边三角形即可解决问题；
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15.【答案】9
【解析】
解：过D作DM⊥BC于M， ∵AH⊥BC，
， ∴AH∥DM，∠AHM=90°
∵AD∥BC，
∴四边形AHDM是矩形，
∴AH=DM=12厘米，AD=HM=4厘米， 由勾股定理得：BH=
同理CM=5（厘米），
∴BC=BH+HM+CM=14厘米， ∴梯形ABCD的中位线长是故答案为：9．
过D作DM⊥BC于M，得出四边形AHDM是矩形，求出HM，根据勾股定理求出BH、CM，求出BC，根据梯形的中位线求出即可．
本题考查了勾股定理和矩形的性质和判定、等腰梯形的性质、梯形的中位线等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键． 16.【答案】9
【解析】
4
==5（厘米），
=9（厘米），
解：如图所示：
，
由树状图可得一共有18中组合，符合题意的有8种，
故组成的三位数是奇数的概率是：故答案为：．
=．
根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案．
此题主要考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键． 17.【答案】22.5
【解析】
解：由折叠可得：BF=BC，
， ∵BC=
， ∴BF=
∵四边形ABCD为矩形， ， ∴∠A=90°
在Rt△BAF中，AF=
=
=
，
∴AB=AF，
， ∴∠ABF=∠AFB=45°
-∠ABF=45°， ∴∠FBC=90°
， ∵在△CBF中，BF=BC，∠FBC=45°
-∠CBF）÷2=67.5°， ∴∠BCF=∠BFC=（180°
-∠BCF=90°-67.5°=22.5°， ∴∠DCF=90°故答案为：22.5°．
由翻折得到BF=BC，先根据勾股定理求出AF，得到△BAF为等腰直角三角形，-∠ABF=45°所以∠ABF=∠AFB=45°，进而求出∠FBC=90°，再根据△CBF为等-∠CBF）÷2=67.5°腰三角形，得到∠BCF=∠BFC=（180°，进而求出-∠BCF=90°-67.5°=22.5°． ∠DCF=90°
本题考查了翻折问题，解决本题的关键是由翻折得到BF=BC． 18.【答案】（5，4）
【解析】
解：∵y=-x+4，
∴y=0时，-x+4=0，解得x=8，∴A（8，0）， x=0时，y=4，∴B（0，4）．
如图，四边形AOBC是梯形，且对角线AB平分∠CAO， ∴BC∥OA，∠OAB=∠CAB，
∴∠ABC=∠OAB， ∴∠ABC=∠CAB，
∴AC=BC．
设点C的坐标为（x，4）， 则（x-8）2+42=x2， 解得x=5，
∴点C的坐标为（5，4）． 故答案为（5，4）．
求出A、B两点的坐标，发现OA≠OB，∠OAB≠∠OBA，所以四边形AOBC是梯形，且对角线AB平分∠CAO时只能BC∥OA，利用平行线的性质以及角平分线定义得出∠ABC=∠CAB，那么AC=BC．设点C的坐标为（x，4），列出方程（x-8）2+42=x2，求解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的判定，两点间的距离公式，得出AC=BC是解题的关键． 19.【答案】解：去分母得：7x=x-6+2（x-6）（x+1），
整理得：x2-8x-9=0， 解得：x1=9，x2=-1，
经检验x=9是分式方程的解，x=-1是增根， 则原方程的解为x=9． 【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 20.【答案】解：∵x2+xy-2y2=（x+2y）（x-y），
∴原方程组可化为：{𝑥+2𝑦=0或{𝑥−𝑦=0， 解这两个方程组得原方程组的解为：{𝑦=8或{𝑦=2． 【解析】
𝑥=−16
𝑥=2
𝑥+3𝑦=8
𝑥+3𝑦=8
因式分解得出x2+xy-2y2=（x+2y）（x-y），再化为两个方程组解答即可． 本题主要考查解高次方程的能力，解题的关键是熟练掌握加减消元法和整体代入的思想．
21.【答案】解：∵直线y=kx+b与直线y=-3x+k都经过点A（6，-1），
∴{−1=−2+𝑘， 解得{𝑏=−7，
∴两条直线的解析式分别为y=x-7和y=-3x+1，
∴直线y=x-7与x轴交于点B（7，0），直线y=-3x+1与x轴交于点C（3，0）， 4×1=2， ∴S△ABC=2×
即这两条直线与x轴所围成的三角形面积为2．
【解析】
1
1
1
𝑘=1−1=6𝑘+𝑏
1
依据直线y=kx+b与直线y=-x+k都经过点A（6，-1），即可得到两条直线的解析式分别为y=x-7和y=-x+1，进而得出直线y=x-7与x轴交于点B（7，0），直线y=-x+1与x轴交于点C（3，0），据此可得这两条直线与x轴所围成的三角形面积为2．
此题主要考查了两函数图象相交的问题以及三角形面积的计算，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．
⃗ 𝑎⃗ -⃗ ⃗ -𝑐⃗ 22.【答案】-𝑐𝑏 𝑎
【解析】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADF=∠CBE， ∵DF=BE，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB，AF=CE， ∴∠AFB=∠CED， ∴AF∥CE，
=-=-=-， ∴
=+=-， =+=-， 故答案为-
（2）延长EC到K，使得CK=EC，连接BK，则向量
即为所求；
，
-，
-．
（1）根据平面向量的加法法则计算即可；
（2）延长EC到K，使得CK=EC，连接BK，则向量
即为所求；
本题考查平行四边形的性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23.【答案】解：延长AD交BC于E，
∵∠C=90°，
∴BC=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=10√3， ∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，
∴∠ACD=∠ECD，∠ADC=∠EDC=90°， ∴∠CAD=∠CED， ∴CA=CE=10， ∴AD=DE，
∵M是边AB的中点，
∴DM=2BE=2×（10√3-10）=5√3-5． 【解析】
1
1
延长AD交BC于E，根据勾股定理求出BC，根据等腰三角形的性质得到AD=DE，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 24.【答案】证明：（1）在等边三角形ABC中，
∵DE⊥BC，GF⊥BC， ∴∠DEF=∠GFC=90°， ∴DE∥GF， ∵∠B=∠C=60°，BE=CF，∠DEB=∠GFC=90°， ∴△BDE≌△CGF， ∴DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形； （2）在平行四边形DEFG中， ∵∠DEF=90°，
∴平行四边形DEFG是矩形， ∵∠BAC=60°，∠BAF=3∠FAC， ∴∠GAF=15°，
在△CGF中， ∵∠C=60°，∠GFC=90°， ∴∠CGF=30°， ∴∠GFA=15°， ∴∠GAF=∠GFA， ∴GA=GF， ∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠B=60°，
∴△DAG是等边三角形， ∴GA=GD， ∴GD=GF，
∴矩形DEFG是正方形． 【解析】
（1）根据等边三角形的性质和平行四边形的判定证明即可； （2）根据等边三角形的判定和性质以及正方形的判定解答即可．
此题考查正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．
25.【答案】解：设该客车在高速公路上行驶的平均速度是x千米/小时，依题意有
400360𝑥−50𝑥
-=6，
整理得3x2-170x-9000=0， 解得x1=90，x2=-1003
（舍去），
经检验，x=90是原方程的解．
答：该客车在高速公路上行驶的平均速度是90千米/小时． 【解析】
可设该客车在高速公路上行驶的平均速度是x千米/小时，根据等量关系：从甲地到乙地由高速公路上行驶所需的时间=普通公路上行驶所需的时间-6小时，列出方程求解即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26.【答案】（1）解：作AH⊥BC于H．设AH=h．
由题意：√102−ℎ2+10+h=24，
整理得：h2-14h+48=0， 解得h=8或6（舍弃），
8，即y=-4x+136（0＜x＜24） ∴y=2（10+24-x）×
（2）解：①当AP=AD=10时，∵AB=AD=10， ∴AP=AB=10， ∵BH=6，
∴BP=2BH=12， 即x=12， ∴y=88．
②当PD=AD=10时，四边形ABPD是平行四边形或等腰梯形， ∴BP=AD=10或BP=2BH+AD=22， 即x=10或22， ∴y=96或48，
综上所述，四边形APCD的面积为88或96或48． 【解析】
1
（1）作AH⊥BC于H．设AH=h．构建方程求出h即可解决问题． （2）分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查梯形、等腰三角形的性质勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
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