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2021北京石景山高一(下)期末数学(教师版)

2023-01-16 来源:帮我找美食网
心有多大,舞台就有多大

2021北京石景山高一(下)期末

数 学

一、单选题(共10题;共40分) 1.复数的 𝑧=

1

1𝑖−1

模为( )

√2A. 2 B. 2 C. √2 D. 2 2.若α为第四象限角,则( )

A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 3.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

4.以角 𝜃 的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角 𝜃 终边过点 𝑃(2,4) ,则 tan(𝜃−

𝜋4

)= ( )

13

13

A. −3 B. − C. D. 3 5.下列函数中,最小正周期为 𝜋 且图象关于原点对称的函数是( )

A. 𝑦=cos(2𝑥+2) B. 𝑦=sin(2𝑥+2) C. 𝑦=sin2𝑥+cos2𝑥 D. 𝑦=sin𝑥+cos𝑥 ⃗⃗ 的夹角为 60∘,|𝑎⃗⃗|=2 ,则 |𝑏⃗⃗|= ( ) 6.已知向量 𝑎⃗,𝑏⃗|=2,|𝑎⃗−2𝑏

A. 4 B. 2 C. √2 D. 1

7.欧拉公式为 𝑒𝑖𝑥=cos𝑥+𝑖sin𝑥 ,( 𝑖 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 𝑒3𝑖 表示的复数位于复平面中的( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8.要得到函数 𝑦=4sin(4𝑥−3) 的图像,只需要将函数 𝑦=4sin4𝑥 的图像( )

A. 向左平移 12 个单位 B. 向右平移 12 个单位 C. 向左平移 3 个单位 D. 向右平移 3 个单位 9.已知函数 𝑓(𝑥)=2sin𝑥+cos2𝑥 ,则 𝑓(𝑥) 的最大值是( )

A. √5 B. 3 C. 2 D. 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是10.如图所示,边长为1的正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的顶点A,D分别在x轴,y轴正半轴上移动,则 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝐵⋅𝑂𝐶( )

1 / 11

3

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋𝜋

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A. 2 B. 1+√2 C. 3 D. 4 二、填空题(共5题;共20分)

11.函数 𝑓(𝑥)=cos22𝑥 的最小正周期是________.

⃗⃗ =(6,m),且 𝑎⃗⃗ ,则m=________. 12.已知向量 𝑎⃗ =(–4,3), 𝑏⃗⊥𝑏13.已知 tan𝛼=−2 , tan(𝛼+𝛽)=7 ,则 tan𝛽 的值为________.

14.𝛥𝐴𝐵𝐶 的内角 𝐴,𝐵,𝐶 的对边分别为 𝑎,𝑏,𝑐 ,若 2𝑏cos𝐵=𝑎cos𝐶+𝑐cos𝐴 ,则 𝐵= ________.

15.设 𝑓(𝑥)=𝑎sin2𝑥+𝑏cos2𝑥 ,其中 𝑎,𝑏∈𝑅 , 𝑎𝑏≠0 ,若 𝑓(𝑥)≤|𝑓(6)| 对一切 𝑥∈𝑅 恒成立,则对于以下四个结论: ① 𝑓(12)=0 ; ② |𝑓(10)|<|𝑓(5)| ;

③ 𝑓(𝑥) 既不是奇函数也不是偶函数; ④ 𝑓(𝑥) 的单调递增区间是 [𝑘𝜋+,𝑘𝜋+

6𝜋

2𝜋3

7𝜋

𝜋

11𝜋

𝜋

1

](𝑘∈𝑍) .

正确的是________(写出所有正确结论的编号). 三、解答题(共5题;共40分)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−𝑘,3) , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−4) . 16.已知平面上三点A,B,C. 𝐵𝐶

(1)若三点A,B,C不能构成三角形,求实数k应满足的条件; (2)若 △𝐴𝐵𝐶 中角C为钝角,求k的取值范围.

17.已知 𝛼∈(2,𝜋) , sin𝛼=

𝜋

𝜋

√5 . 5

(1)求 sin(𝛼+4) 的值; (2)求 cos(2𝛼−

5𝜋6

) 的值.

2 / 11

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18.如图,在 △𝐴𝐵𝐶 中,D为边BC上一点, 𝐴𝐷=6 , 𝐵𝐷=3 , 𝐷𝐶=2 .

(1)若 ∠𝐴𝐷𝐵= ,求 ∠𝐵𝐴𝐶 的大小;

2𝜋

(2)若 ∠𝐴𝐷𝐵=

2𝜋3

,求 △𝐴𝐵𝐶 的面积.

19.已知函数 𝑓(𝑥)=2cos2𝑥+2√3sin𝑥cos𝑥−1 .

(1)求函数 𝑓(𝑥) 的最小正周期;

(2)求函数 𝑓(𝑥) 在区间 [2,π] 上的最小值和最大值.

20.在 △𝐴𝐵𝐶 中, cos𝐴= , 𝑐=3 ,且 𝑏≠𝑐 ,再从条件①、条件②中选择一个作为已知,求:

87

π

条件①: sin𝐵=2sin𝐴 ; 条件②: sin𝐴+sin𝐵=2sin𝐶 .

注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. (1)𝑏 的值; (2)△𝐴𝐵𝐶 的面积.

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2021北京石景山高一(下)期末数学

参考答案

一、单选题(共10题;共40分) 1.【答案】 B

【考点】复数代数形式的乘除运算,复数求模 【解析】【解答】 𝑧=𝑖−1=或 |𝑧|=

1|𝑖−1|

1

−1−𝑖2

=−2−2𝑖,|𝑧|=|−2−2𝑖|=√(−2)2+(−2)2=

111111

√2, 2

=

1√(−1)2+1=21√2=

√2 2

故答案为:B

【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简,然后利用复数模的公式计算. 2.【答案】 D

【考点】二倍角的正弦公式,二倍角的余弦公式

【解析】【解答】当 𝛼=− 时, cos2𝛼=cos(−)>0 ,B不符合题意;

6

3

𝜋

𝜋

当 𝛼=− 时, cos2𝛼=cos(−

3

𝜋2𝜋3

)<0 ,A不符合题意;

由 𝛼 在第四象限可得: sin𝛼<0,cos𝛼>0 ,则 sin2𝛼=2sin𝛼cos𝛼<0 ,C不符合题意,D符合题意; 故答案为:D.

【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 3.【答案】 C

【考点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】若扇形的半径为 𝑟 ,而圆心角的弧度数 𝛼=4 ,则 𝜋𝑟2⋅2𝜋=2 ,故 𝑟=1 , ∴扇形的周长 𝑙=𝛼𝑟+2𝑟=6 . 故答案为:C

【分析】由扇形的面积公式即可求出圆的半径,进而得出扇形的周长。 4.【答案】 C

【考点】两角和与差的正切公式,任意角三角函数的定义 【解析】【解答】由题意知: tan𝜃=2 ,而 tan(𝜃−4)=故答案为:C

4 / 11

𝜋

𝜋4𝜋1+tan𝜃tan

4𝛼

tan𝜃−tan

=1+2×1=3 .

2−11

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【分析】 利用任意角的三角函数的定义求得tanθ,再利用两角和的正切公式,求得 tan(𝜃−) 的值.

4

𝜋

5.【答案】 A

【考点】三角函数的周期性及其求法,正弦函数的奇偶性与对称性,余弦函数的奇偶性与对称性 【解析】【解答】解:y=cos(2x +2 )=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以A正确 y=sin(2x +2 )=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以B不正确; y=sin2x+cos2x =√2 sin(2x +4 ),函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C不正确; y=sinx+cosx =√2 sin(x + ),函数是非奇非偶函数,周期为2π,所以D不正确;

4𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

故答案为:A.

【分析】 根据函数的关系式,通过关系式的变换和函数的图象的性质求出结果. 6.【答案】 D

【考点】向量的模,平面向量数量积的运算

⃗⃗|=2 ,得 (𝑎−2𝑏)2=|𝑎|2−4𝑎⋅𝑏+4|𝑏|2=2 ,即 |𝑎|2−4|𝑎||𝑏|cos60∘+【解析】【解答】由 |𝑎⃗−2𝑏

3

⃗⃗|=1 , 4|𝑏|2=2 ,则 2|𝑏|2−|𝑏|−6=0 ,解得 |𝑏|=−2 (舍去)或 |𝑏

故答案为:D.

【分析】 根据向量的数量积和向量的模计算即可. 7.【答案】 A

【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】根据题意 𝑒故选: 𝐴 .

【分析】计算 𝑒3𝑖=cos3+𝑖sin3=2+8.【答案】 B

【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 【解析】【解答】 𝑦=4sin(4𝑥−)=4sin[4(𝑥−

3

𝜋𝜋

𝜋12

𝜋

𝑖𝑥

=cos𝑥+𝑖sin𝑥 ,故 𝑒

𝜋

𝑖3=cos+𝑖sin=+

3

3

2

𝜋𝜋1

√3𝑖 ,表示的复数在第一象限. 2

𝜋𝜋1

√3𝑖 ,得到答案. 2

)] ,

𝜋

∴将函数 𝑦=4sin4𝑥 的图像向右平移 12 个单位,可得 𝑦=4sin[4(𝑥−12)] . 故答案为:B

【分析】 直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果. 9.【答案】 C

5 / 11

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【考点】二次函数的性质,二倍角的余弦公式

【解析】【解答】 𝑓(𝑥)=2sin𝑥+cos2𝑥=−2sin2𝑥+2sin𝑥+1=−2(sin𝑥−)2+ ,而 sin𝑥∈[−1,1] ,

2

2

1

3

∴ 𝑓(𝑥)max=𝑓()= .

2

2

13

故答案为:C

【分析】 由题意利用二倍角公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的值域,二次函数的性质,求出f (x) 的最大值. 10.【答案】 A

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解:令 ∠𝑂𝐴𝐷=𝜃 ,由于 𝐴𝐷=1 ,故 𝑂𝐴=cos𝜃 , 𝑂𝐷=sin𝜃 ,

∠𝐵𝐴𝑥=2−𝜃 , 𝐴𝐵=1 ,故 𝑥𝐵=cos𝜃+cos(2−𝜃)=cos𝜃+sin𝜃 , 𝑦𝐵=sin(2−𝜃)=cos𝜃 , 故 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝐵=(cos𝜃+sin𝜃,cos𝜃) ,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(sin𝜃,cos𝜃+sin𝜃) , 同理可求得 𝐶(sin𝜃,cos𝜃+sin𝜃) ,即 𝑂𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos𝜃+sin𝜃 , cos𝜃)⋅(sin𝜃 , cos𝜃+sin𝜃)=1+sin2𝜃 , ∴𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1+sin2𝜃 的最大值是2, 𝑂𝐵⋅𝑂𝐶故答案为:A.

【分析】 令∠𝑂𝐴𝐷=𝜃 , 由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上,可得出B, C的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可. 二、填空题(共5题;共20分) 11.【答案】2

【考点】二倍角的余弦公式,三角函数的周期性及其求法 【解析】【解答】由已知得: 𝑓(𝑥)=故答案为: 2

【分析】 利用三角函数的降幂公式进行化简,结合三角函数的周期公式进行计算即可. 12.【答案】 8

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 ⃗⃗=(6,𝑚),𝑎⃗⃗, 【解析】【解答】向量 𝑎⃗=(−4,3),𝑏⃗⊥𝑏⃗⃗=0,−4×6+3𝑚=0,𝑚=8 . 则 𝑎⃗⋅𝑏故答案为:8

6 / 11

𝜋

1+cos(2⋅2𝑥)

2

𝜋𝜋

𝜋

𝜋

=cos4𝑥+ ,其最小正周期为 𝑇=

2

2

112𝜋4

= . 2

𝜋

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⃗⃗ 得→【分析】由 𝑎⃗⊥𝑏𝑎⋅𝑏=0 , 代入坐标求解出m的值。 13.【答案】 3

【考点】两角和与差的正切公式

【解析】【解答】 tan𝛽=tan(𝛼+𝛽−𝛼)=1+tan(𝛼+𝛽)tan𝛼=

tan(𝛼+𝛽)−tan𝛼

1

+2711+×(−2)7

=3 ,故答案为3。

【分析】利用已知条件结合角与角之间的关系式,从而利用两角差的正切公式,从而求出 tan𝛽 的值。 14【答案】3 【考点】正弦定理 【解析】【解答】

由2bcosB=acosC+ccosA及正弦定理,得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA.

𝜋

∴2sinBcosB=sin(A+C).

又A+B+C=π,∴A+C=π-B.∴2sinBcosB=sin(π-B)=sinB. 又sinB≠0,∴cosB= 2 .∴B= 3 . 解法二:∵在△ABC中,acosC+ccosA=b,∴条件等式变为2bcosB=b,∴cosB= 2 . 又0【分析】根据正弦定理,结合三角恒等变换,求出cosB,即可得到角B. 15.【答案】 ①③

【考点】正弦函数的图象,正弦函数的单调性

【解析】【解答】由题设, 𝑓(𝑥)=𝑎sin2𝑥+𝑏cos2𝑥=√𝑎2+𝑏2sin(2𝑥+𝜑) 且 tan𝜑=𝑎 , ∵ 𝑓(𝑥)≤|𝑓()| 对一切 𝑥∈𝑅 恒成立,

6𝜋

𝑏

𝜋

1

1

𝜋

∴ sin(3+𝜑)=±1 ,即 3+𝜑=𝑘𝜋+2(𝑘∈𝑍) ,则 𝜑=𝑘𝜋+6 , ① 𝑓(12)=√𝑎2+𝑏2sin(② 𝑓()=√𝑎2+𝑏2sin(107𝜋11𝜋

11𝜋6

𝜋𝜋𝜋𝜋

+𝑘𝜋+6)=√𝑎2+𝑏2sin(𝑘+2)𝜋=0 ,正确;

𝜋6

17𝜋30

𝜋

7𝜋5

+𝑘𝜋+)=√𝑎2+𝑏2sin[(𝑘+1)𝜋+

7𝜋10

𝜋5

] ,而 𝑓()=√𝑎2+𝑏2sin(

5

𝜋2𝜋5

+𝑘𝜋+)=

6

𝜋

√𝑎2+𝑏2sin(𝑘𝜋+

17𝜋30

) ,所以 |𝑓()|=|𝑓()| ,错误;

𝜋

③ 𝑓(−𝑥)=√𝑎2+𝑏2sin(−2𝑥+𝑘𝜋+6) ,故 𝑓(−𝑥)±𝑓(𝑥)≠0 ,即 𝑓(𝑥) 是非奇非偶函数,正确; ④因为 𝑓(𝑥) 在 2𝑘1𝜋−2≤2𝑥+𝑘𝜋+6≤2𝑘1𝜋+2(𝑘1,𝑘∈𝑍) 上单调递增,所以

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

(2𝑘1−𝑘)𝜋

2

−3≤𝑥≤

𝜋

(2𝑘1−𝑘)𝜋

2

+

,令 𝑘=2𝑘1−𝑘 ,则 6

𝑘′𝜋2

−3≤𝑥≤

𝜋

𝑘′𝜋2

+6 等价于

𝜋

𝑘′𝜋2

+6≤𝑥≤

𝜋

𝑘′𝜋2

+

2𝜋3

上 𝑓(𝑥) 单调递增,错误;

故答案为:①③

7 / 11

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【分析】由 𝑓(𝑥)≤|𝑓()|可知𝑥=是函数f (x) 的对称轴,然后根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可.

6

6

𝜋π

三、解答题(共5题;共40分)

16.【答案】 (1)由三点A,B,C不能构成三角形,得A,B,C在同一直线上,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行, 即向量 𝐵𝐶

∴ −4(2−𝑘)−2×3=0 ,解得 𝑘=2 ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0 , (2)当角C是钝角时, 𝐴𝐶

∴ 2×(2−𝑘)+3×(−4)<0 ,解得 𝑘>−4 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行,则 𝑘≠ , 又向量 𝐵𝐶2

综上: 𝑘 的取值范围是 (−4,2)∪(2,+∞) .(1) 𝑘=2 ;(2) (−4,2)∪(2,+∞) . 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示,平面向量数量积的运算

【解析】【分析】 (1)由三点A,B, C不能构成三角形,可得三点A, B, C在同-条直线上,即BC与Ac共线,利用向量共线定理,即可得出实数k应满足的条件;

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0 , 解得 𝑘>−4 , 又向量 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行,则 𝑘≠7 , 即可得出 k的取(2) 当角C是钝角时, 𝐴𝐶2值范围 .

17.【答案】 (1)∵ 𝛼∈(,𝜋) , sin𝛼=

2𝜋

√5 , 5

7

7

7

7

7

7

7

∴ cos𝛼=−√1−sin2𝛼=−

𝜋4

𝜋4

2√5 . 5

𝜋4

√2(sin𝛼2

∴ sin(𝛼+)=sin𝛼cos+cos𝛼sin=

4

+cos𝛼)=−

√10 ;. 103

(2)∵ sin2𝛼=2sin𝛼cos𝛼=−5 , cos2𝛼=cos2𝛼−sin2𝛼=5 , ∴ cos(2𝛼−−

3√3+410

5𝜋

)=cos2𝛼cos6

5𝜋6

+sin2𝛼sin

5𝜋6

=5×(−

3

√3)2

+(−5)×2=−

41

3√3+4√10 .(1) − ;(2) 1010

【考点】两角和与差的余弦公式,二倍角的正弦公式,二倍角的余弦公式,同角三角函数间的基本关系 【解析】【分析】 (1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosa的值,进而利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解;

(2)由(1)利用二倍角公式可得sin2a,cos2a的值,进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解. 18.【答案】 (1)设∠BAD=α,∠CAD=β,

则 𝑡𝑎𝑛𝛼=𝐴𝐷=2 , 𝑡𝑎𝑛𝛽=𝐴𝐷=3 , 所以 𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)=1−𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽=1 ,

8 / 11

𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽

𝐵𝐷

1

𝐶𝐷

1

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因为α+β∈(0,π), 所以 𝛼+𝛽= ,

4𝜋

即 ∠𝐵𝐴𝐶=4 .

(2)过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H,

𝜋

因为 ∠𝐴𝐷𝐵=

2𝜋3𝜋

所以 ∠𝐴𝐷𝐶=3 ,

所以 𝐴𝐻=𝐴𝐷⋅𝑠𝑖𝑛=3√3 ;

3𝜋

所以 𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐵𝐶⋅𝐴𝐻=

1

15√3 . 2

【考点】两角和与差的正切公式,三角形中的几何计算

【解析】【分析】 (1)直接利用三角函数关系式的恒等变换,利用诱导公式求出结果; (2)利用解直角三角形和三角形的面积公式求出结果.

19.【答案】 (1)𝑓(𝑥)=2cos2𝑥+2√3sin𝑥cos𝑥−1=cos2𝑥+√3sin2𝑥

=2(cos2𝑥+

21

√3sin2𝑥) =22π2

2sin(2𝑥+)

6

π

所以周期为 𝑇=

π

=π .

(2)因为 2≤𝑥≤π , 所以 6≤2𝑥+6≤所以当 2𝑥+=

3ππ

6

π

13π6

. 13π

时,即 𝑥=π 时 𝑓(𝑥)max=1 .

2

当 2𝑥+6=2 时,即 𝑥=3π 时 𝑓(𝑥)min=−2 .(1) 𝜋 ;(2) 𝑓(𝑥)max=1 , 𝑓(𝑥)min=−2 【考点】三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的单调性,正弦函数的周期性

【解析】【分析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求函数f (x) 的最小正周期;

9 / 11

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(2)通过角的范围求解相位的范围,利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可. 20.【答案】 (1)选条件①: sin𝐵=2sin𝐴 .

在 △𝐴𝐵𝐶 中,因为 sin𝐵=sin𝐴 ,所以 𝑏=因为 cos𝐴=

𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

𝑏

𝑎

𝑎sin𝐵sin𝐴78

=2𝑎 .

4𝑎2+9−𝑎2

12𝑎

,且 𝑐=3 , cos𝐴= , 𝑏=2𝑎 ,所以

3

= .

8

7

化简得 2𝑎2−7𝑎+6=0 ,解得 𝑎=2 或 𝑎=2 . 当 𝑎=2 时, 𝑏=2𝑎=3=𝑐 ,与题意矛盾. 所以 𝑎=2 ,所以 𝑏=4 . 选条件②: sin𝐴+sin𝐵=2sin𝐶 . 在 △𝐴𝐵𝐶 中,因为 因为 cos𝐴=

𝑎sin𝐴

3

=

𝑏sin𝐵

=

𝑐sin𝐶

,所以由 sin𝐴+sin𝐵=2sin𝐶 得 𝑎+𝑏=2𝑐=6 .

78

𝑏2+9−(6−𝑏)2

6𝑏

𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

,且 𝑐=3 , cos𝐴= , 𝑎=6−𝑏 ,所以 = .

8

7

解得 𝑏=4 .

(2)选条件①: sin𝐵=2sin𝐴 . 因为 cos𝐴=8 , 𝐴∈(0,π) ,所以 sin𝐴=所以 𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑏𝑐sin𝐴=×4×3×

2

2

1

1

√158

7

√15 . 83√15 . 4

=

选条件②: sin𝐴+sin𝐵=2sin𝐶 . 由(1)知 𝑏=4 ,所以 𝑎=6−𝑏=2 . 因为 cos𝐴=8 , 𝐴∈(0,π) ,所以 sin𝐴=所以 𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑏𝑐sin𝐴=2×4×3×

1

1

√158

7

√15 . 83√15 . 4

=

【考点】同角三角函数间的基本关系,正弦定理,余弦定理

【解析】【分析】 (1)选择条件①:利用正弦定理化角为边,得b=2a,再由余弦定理求得a的值,从而得解; 选择条件②:利用正弦定理化角为边,得a+b=2c=6,再由余弦定理求得b的值; (2) 先由同角三角函数的平方关系得sinA的值,再由 𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑏𝑐sin𝐴 得解.

10 / 11

1

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发现别人的优点

一个娇生惯养的富家女哭着跑回娘家,向父母诉说新婚丈夫的种种不是。在双亲耐心地劝慰之下,仍旧表示要离婚。

这时,充满智慧的爷爷从书房出来,手里拿出一大张白纸和一支毛笔交给孙女儿,并对她说:“孙女婿欺负你,很可恶是不是啊?”女孩接过纸与笔,委屈地答道:“是啊!整天欺负我,爷爷要替孙女儿做主。”爷爷慈祥地说:“好!你先照我的话去做。现在你只要想他一个缺点,就用毛笔在白纸上点一个黑点。”女孩遵照爷爷的嘱咐,拿起笔不停地在白纸上点黑点。她点了一阵子后,爷爷拿起白纸问她:“就这些,还有吗?”女孩想了想,提笔又点了三点。

在她点完之后,爷爷平静地问她:“你在这张白纸上看到了什么呢?”女孩恨声答道:“黑点啊!全都是那死没良心的缺点啊!”爷爷仍旧平静地问道:“你再看一看,除了黑点之外,还看到了什么。““没有啊!除了黑点之外什么都没有了。”在爷爷不断追问之下,女孩不耐烦地说:“除了许多黑点之外,就是白纸的空白部分了。”

爷爷笑道:“好极了!黑点就是缺陷点,而空白部分的大白点就是优点。你总算看到了优点。想想看,孙子婿是否也有优点呢?”女孩若有所悟,想了很久,终于勉强地点点头,开始说出丈夫的优点。阴晦慢慢扫去,语气逐渐缓和。最后终于破涕为笔。当你讨厌一个人之时,只会看到他的缺点,这是人性盲点。 在取得成功获得成就的道路上,一定要学会从周围事物上发现优点,只有这样,才能不停地学习别人,完善自己,从而取得成就!

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